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2010年秋季初一升初二数学衔接·第11讲 ——一次函数及其图象知识要点一、函数的概念 在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x的值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 1．如何判断函数关系： 判断两个变量是否存在函数关系，要注意三点：是否存在一个变化过程；是否存在两个变量；x在某范围内每一个取值，y是否有唯一确定的值与它对应。 2．函数的三种表示方法： 图象法观形象，是研究函数性质的重要工具，但不够准确； 列表法：清楚，一目了然，但不够全面； 解析式：用代数式表示两个变量间的关系，但不直观，有些函数关系也不能用解析式表达。 3．确定自变量的取值范围： 实际问题中自变量取值范围要使实际问题有意义； 解析式中要考虑使表达式有意义（如分式的分母不为0，二次根式中被开方数非负等）。二、一次函数 两个变量x和y之间的关系可以表示成（k、b为常数，且k≠0）的形式，则y是x的一次函数。 特别的，当b＝0时，得（k是常数且k≠0），称y是x的正比例函数。 由此可知，正比例函数是一次函数的特殊形式，一次函数当b=0时为正比例函数，一次函数包括正比例函数。三、函数的图象 1．函数的图象：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出经的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 显然：函数图象上任意点P（x，y）中的x，y满足函数关系式，满足函数关系式的任意一对x，y的值所对应的点一下在该函数的图象上。 要判断一个点P（x，y）是否在某个函数的图象上，只需将该点的坐标代入解析式，看其是否满足该解析式。如果点的坐标满足解析式，则该点在此函数的图象上；否则这个点不在此函数的图象上。 2．作函数图象的步骤： 列表：给出一些自变量的值及其对应的函数值； 描点：以表中每对对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点； 连线：用平滑曲线顺次（从左到右）连接各点。四、一次函数、正比例函数的图象与性质 1．一次函数的图象是一条直线，经过点（0，b）和(，0)，其中b叫做直线在y轴上的截距。 正比例函数的图象是经过原点的一条直线。 2．在一次函数中， 当k0时，y的值随着x值的增大而增大，直线呈上升趋势； 当k0时，y的值随着x值的增大而减小。直线呈下降趋势； 3．直线的位置与k、b的关系： 函数 图象 性质 （b=0） k0 一、三象限 y的值随着x值的增大而增大 k0 二、四象限 y的值随着x值的增大而减小 (b≠0) k0 b0 一、二、三 象限 y的值随着x值的增大而增大 b0 一、三、四 象限 k0 b0 一、二、四 象限 y的值随着x值的增大而减小 b0 二、三、四 象限 典型例题例1为了适应教学的需要，某校新建了阶梯教室，教室的第一排有25个座位，后面的每一排都前一排多一个座位，若第n排有m个座位，教室共有p个座位。 （1）试求m与n、p与n之间的函数关系式； （2）若阶梯教室的座位共安排了15排，座位总数将达到多少个？ 分析：第二排比第一排多一个座位，第三排比第一排多两个座位，…，第n排第第一排多n-1个座位，第n排的座位数就是n-1+25。教室的座位图形是一个梯形，其上底可以看成第一排的座位数，下底是第n排的座位数，高就是排数。根据梯形的面积公式可以写出阶梯教室总的座位数p。解：(1)（n0），（n0）； （2）当n=15时，。 例2某商店出售一种商品，重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如表： 数量x（kg） 售价y（元） 1 6+0.8+0.05 2 12+1.6+0.05 3 18+2.4+0.05 4 24+3.2+0.05 … … （1）试写出y与x的关系式，y是x的函数吗？ （2）小李想买这种商品7.5kg，就付款多少元？ 分析：当x变化时，y的值有规律地变化，y的值由三部分组成，前两个以倍数逐渐增大，第三个数始终不变。 解：（1），y是x 的函数； （2）当x=7.5时， 所以买这种商品7.5kg时，应付款51.05元。 例3某商场文具部的一种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法，甲：习一枝毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折。某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本x本（x≥10）。 （1）写出每种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（本）之间的函数关系式； （2）该学校想购买60本书法练习本，按哪种办法付款更省钱？ 分析：甲种优惠办法是买一赠一，因此买10枝毛笔就赠送10本练习本，其余（x-10）本练习本付5（x-10）元；乙种优惠办法是所有金额打九折，即付款乘以90%。 解：（1）；。