1.1.2 余弦定理 ppt课件4 高中数学 人教A版 必修5.ppt

1.1.2　余弦定理 1．三角形中任何一边的平方________其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的______倍，即a2＝b2＋c2－_____________，b2＝________＋a2－2cacos B，c2＝________________. 1．已知△ABC的三边a，b，c，△ABC能否唯一确定？如何确定角A? 2．在解三角形的过程中，求某一个角时既可用余弦定理，也可用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？ 【答案】在区间(0，π)上，y＝cos x是单调函数，由余弦定理可唯一确定相应角的值(但计算复杂)．利用正弦定理时，由于y＝sin x在(0，π)不单调，根据正弦值求所对应的角时，有时可确定两角，结合题设条件判定解的个数． 【答案】A 4．在△ABC中，若a2b2＋c2，则角A是________(填“锐角”、“直角”或“钝角”)． 【答案】锐角 【解析】由余弦定理及已知得a2＝b2＋c2－2bccos Ab2＋c2，所以－2bccos A0，即cos A0.所以A为锐角 1．坐标法证明余弦定理 教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出坐标法证明． 证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是(b,0)． 注意：(1)利用余弦定理及推论，可以解决以下两类三角形的问题： ①已知三边，求三个角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 这两种类型问题在有解时都只有一个解． (2)余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式． 思路点拨：已知两边和它们的夹角，用余弦定理求解． 方法点评：已知三角形的两边和夹角解三角形，基本思路是先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求其他各角． 1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长． 题型二　已知三边解三角形 【例2】 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C. 思路点拨：在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大，然后根据已知三边求角，可用余弦定理解决． 题型三　判断三角形的形状 【例3】 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cos Asin B＝sin C，试确定△ABC的形状． 思路点拨：先把已知关系式统一成边的关系或角的关系． 方法点评：本题型是用余弦定理判定三角形的形状，常有两种思路，一是通过三角形的边的关系，二是通过三角形的角的关系，这都可以用正弦定理和余弦定理来实现转化． 3．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断三角形的形状． 误区解密　审题不清，导致错误 【例4】 已知锐角三角形的边长分别为1,3，x，则x的取值范围是多少？ 错解：由三角形中三边的关系知3－1x3＋1，即2x4. 错因分析：错误的根源在于审题不清，漏掉“锐角三角形”的限制条件． 纠错心得：在△ABC 中，若A为锐角，则有a2b2＋c2；若A为钝角，则有a2b2＋c2，若A为直角，则有a2＝b2＋c2.解决此类问题时要仔细审题，加强训练，培养思维的严密性． 1．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系． 2．正弦定理是解决已知三角形的两边及其中一边的对角或两角及一边，求三角形的其他元素的问题；余弦定理是解决已知三角形的两边及其夹角或三边求其他元素的问题．在解三角形时，要根据题目的条件确定是用正弦定理来解还是用余弦定理来解，同时在解题过程中要注意将正弦定理、余弦定理进行有机结合，这样会给运算带来方便. 课堂总结 自学导引 等于 2 2bccos A c2 a2＋b2－2abcos C cos A 自主探究 预习测评 要点阐释 课堂讲练互动 典例剖析