北师大版数学初二上册全部资料.doc

第一章勾股定理 　知识导学： 　　勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。运用勾股定理进行有关的计算和证明，在有关直角三角形求边的计算中，只要分析出两个条件。（其中至少一边）就能解。要注意有时要利用边与边之间的关系，设未知数通过列方程来解几何题。在运用勾股定理进行证明时，要结合已知条件和所学过的各种图形的性质适当添加辅助线构成直角三角形，同时要加强分析。 　典型例题： 　例1. 如图在 中，， 的平分线AD交BC于D，　求证：。 　证明： 　　 　　 平分 　　 　　 　　在 中， 　　 　例2. 作长为 的线段。 　分析： 　 ? 故只须先作出长为 的线段。 ? 作法： ?(1)作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形。 ?(2)以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为3的Rt⊿ABD ,则线段BD的长为所求。 　例3. 如图， 中， 分别为BC的高和中线，求DE的长。 　解：设 　 　 　 　又 　在 中， 　在 中， 　即 　解得： 　　　例4. 如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点。 　求证：。 　分析：要证 ，一般方法是在 中取一个角使之等于 ? ，再证明另一个角也等于， 　另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角。 　证明：取BC中点G，连结AG并延长交DC延长线于H。 　　∵∠ABG= ∠HCG, BG=CG ,∠AGB= ∠HGC 　　 　　 　　又 　　 　　在 中，设，由勾股定理得： 　　 　　又 　　 　　 　 ?课后练习： 1. 如图， 中，，D为BC的中点。 　 求证：。 2. 如图 中，，求AC的长及 的面积。 3. 如图 中，，AD为 的平分线交BC于D，，，求AC的长。 4. 如图， 中，，求BC的长。 5. 如图 中，，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且，　 求证：。 　答案： 　1.证明： 　　 　　 　2. 解：作AB的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E 　　连结BE，则 　　 　　在 中， 　　 　　 　3. 解：作 交AB于E 　　 平分 　　 　　在 和 中， 　　 　　在 中， 　　 　　 　　又 　　 　　 　4. 解：作 于D 　由 知 　 　又 　 　在 中， 　（负值舍去） 　 　5. 证明：延长FD到G使 　连结AG、EG，则EF=EG 　 　 　 　 　 　 趣话勾股定理 　　1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。 　　勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择。但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。《周髀算经》里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。　　这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“……商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，