单球面物象折射公式及其应用.doc

引 言（绪论） 光学中以光线概念为基础研究光的传播和成像规律的一个重要分支是几何光学.在几何光学中，折射定律的发现标志着光线传播定律的最终确立，费马原理即是解释、证明和概括光线传播实验定律的途径之一. 本文依据费马原理，推导出了近轴光线条件下的单球面物像折射公式.应用近轴光线条件下的单球面物像折射公式，可以推导出多种情况下的成像公式，为研究复杂的光学系统成像提供了基础性的理论依据，以说明单球面物像折射公式在几何光学中的基础重要性. 1 符号法则 为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用，方便读者阅读. 图1 主平面内的球面反射 图1中的AOB表示球面的一部分.这部分球面的中心点O称为顶点，球面的球心C称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点和曲率中心的直线CO称为主轴，通过主轴的平面称为主平面.主轴对于所有的主平面具有对称性.因此只需讨论一个主平面内光线的反射情况.图1表示球面的一个主平面. 在计算任一条光线的线段长度和角度时，对符号作如下规定： 线段长度都从顶点算起，凡光线和主轴的交点在顶点右方的，线 段长度的数值为正；凡光线和主轴的交点在顶点左方的，线段长度的数值负.物点或像点至主轴的距离，在主轴上方的为正，下方的为负. 光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）转向有关光线时， 若沿顺时针方向移动，则该角度为正；若沿逆时针方向转动，则该角度为负（再考虑角度的符号时，不必考虑组成该角的线段的符号）. 在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值.例如表示的某线 段的值是负的，则应用来表示该线段的几何长度.下讨论都假定光线自左向右传播. （4） 特俗情况下的，文中均在相应位置另有特殊解释说明. 2 单球面物象折射公式的推导 2.1 球面折射的一般分析 设有两种透明均匀的各向同性的介质，界面∑为球面的一部分，两侧介质折射率分别为n和且n，如图2所示，折射球面∑的曲率中心C与顶点O的连线为主光轴，简称主轴（∑面关于主轴的旋转对称面）. 图2 光在单球面上的折射 设主光轴上面顶点O的左方有一真实发光点P，他发出的同心光束的任意一条光线自左向右入射到∑面上的M点，相应的折射与主轴交与点.以球面顶点O为计量原点，记球面曲率半径. 则PMP’的光程为 = 在和中应用余弦定理，并注意 可得 因此，光线PMP的光程可写成 = 式（2-1） 根据费马原理，光程变化率应为0，即 式（2-2） 代入的表达式进行求导，有 经计算整理后可得到 式（2-3） 给定s和可由式(2-3)定出.一般来说，与有关，这意味着由同一P点发出的同心光束中的各条光线，经∑面折射后，不再汇交与一点，即球面折射破坏了光束的同心性，使轴上发光点不能成像.有两种特殊情况值得注意.其一，令式(2-3)两端同时等于零，即 =0 式（2-4) =0 式（2-5） 求解这组联立方程的解，从而把s和s’同时确定下来，它们均与无关，此时的P和是一对特殊的共轭点，称为球面折射的齐明点或不晕点.对一对齐明点，宽光束经球面折射后仍能成像.其二是把光束限制在近轴区域内，即，此种的讨论，详见下文. 2.2 近轴光线的单球面折射 2.2.1 物象距公式 在近轴光线的条件下，值很小，在一级近似下，，因此式(2-3)中的,与近似无关，则有 式（2-6） 将上面等式两端同时开放，经数学处理后，可得如下简单关系式： 式（2-7） 上式表明，在n、和r给定的条件下，在近轴区，轴上物点P经球面∑折射后可在轴上得一相应的像点.从球面顶点O到像点的距离称为像距；从球面顶点O到P的距离s称为物距；和n分别称为像方折射率和物方折射率，式(2-7)称为球面折射近轴成像的物象距公式.此式对凹球面同样成立. 焦距公式 如果位于主轴上的物点位置改变，则与之共轭的像点在主轴上的位置必有相应改变.轴上无限远处物