定积分的应用文档.doc

　 一、液体的静压力 ? 在设计水库的闸门、管道的阀门时，常常需要计算油类或者水等液体对它们的静压为，这类问题也可用定积分来计算。 例12 一圆柱形水管半径为1米，若管中装水一半，求水管阀门之所受的静压力 　 解: 取坐标系如图，此时变量x表示水中各点的深度，它们变化区间是［0，1］，圆的方程为x2+y2＝1。?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 图5-30 由物理知识，对于均匀受压的情况，压强P处处相等，要计算所求的压力，可按公式 压力＝压强×面积 计算，但现在闸门在水中所受的压力是不均匀的，压强随着水深度x的增加而增加，根据物理知识，有 P=ωx(吨／米2)，W=1吨／米3，因此要计算闸门所受的水压力，不能直接用上述公式，但是，如果将闸门分成几个水平的窄条，由于窄条上各处深度x相差很小，压强P=wx可看成不变。 1 选取深度［x,x+Δx］，所受到的压力为ΔF，则 ΔF≈wx·2yΔx=wx·2Δx 2 dF=wx2dx 3 F＝∫102wxdx=2w(- (1-x2)3／2)｜10)＝＝(吨) 二、功 ??? 例13 设有一直径为20米的半球形水池，池内贮满水，若要把水抽尽，问至少作多少? 功。 解 本题要计算克服重力所作的功，要将水抽出，池中水至少要升高到池的表面，由此可见对不同深度x的单位质点所需作的功不同，而对同一深度x的单位质点所需作的功相同，因此如图建立坐标系，即oy轴取在水平面上，将原点置于球心处，而ox轴向下(此时x表示深度) 这样，半径可看作图x2+y2＝100在第一象限中部分绕ox轴旋转而成的旋转体，深度x的变化区间是［0，10］。???????????????????????????????????????????????????????????????? 图5-31 因同一深度的质点升高的高度相同，故计算功时，宜于用平行于水平面的平面截半球成许多小片来计算。 1 选取区间［x,x+Δx］相应的体积 ΔV≈πy2Δx=π(100-x2)Δx 所以抽出这层水需作的功 ΔW≈wπ(100-x2)Δx·x=πwx(100-x2)Δx 其中W=1吨／米3是一立方米的水重 2 dw=πwx(100-x2)dx 3 W＝πwx(100-x2)dx ＝πwx(100-x2)dx ＝－［(100-x2)2］ ＝×10４＝2500πW≈7854(吨／米) ???????????????????????????????????????????????????????????????? 图5-32 假若本题改为把水抽到水池上方10米高的水箱中，需做的功又是多少呢，请读者自己解决一下。 三、引力 例14 计算半径为a密度均质为u的圆形薄板以怎样的力吸引质量为m的质点P。此质点位于通薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直线上，最矩距离PQ等于b。 解 取坐标系如图，由平面薄板点均质的且关于两坐标轴对称，P在圆心的中垂线上，显然引力在水平方向的分力为0，在垂直方向的分力、指向体内的正向，所求的引力F看成分布在区间［0,a］上。 1.选取区间［x,x+Δx］ 对于以x为半径的圆环，其质量Δm≈μ2πxΔx 对质点P的引力 ΔFy≈2kmuπxΔx ＝2kmuπΔx 2 dFy＝2kmuπdx 3 Fy＝2kmuπ∫a0dx ＝2kmuπ(1-) 因此｜Ｆ｜=｜Fy｜=Fy，方向指向y轴的正向。 四、质量 例15 如图充满圆锥容器中的液体的密度按照下列公式随高度变化ρ＝ρ0(1－) 计算所装液体的质量。???????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????? 图5-33 解：所求的质量分布在区间［0,H］容器在高度为y处的半径为r=y。 1.选取［y,y+Δy］，该区间上薄圆柱片的质量Δm为 Δm≈πr2Δyρ＝y2Δyρ0(1－) 2 dm=ρ0y2(1－)dy 3 m=ρ0∫Ｈ0y2(1－)dy＝πＲ2Ｈρ0 五、物体的动能 由物理知识，质量为m，速度为V的运动质点，其动能为 E＝mV2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????? 图5-34 一个用细铁丝作成的圆环(半径为r，质量为m)，以角速度w绕中心轴τ旋转(如图)，这时，圆环上各