导数的应用—单调性.doc

二． 导数与函数的单调性 2.1 导数与函数的单调性 （1）设函数在某个区间（a，b）可导， 如果，则在此区间上为增函数； 如果，则在此区间上为减函数。 （2）利用导数求函数单调区间的基本步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导函数f′(x)； (3)由f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的取值范围． 当f′(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数； 当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间． 例：函数是减函数的区间 ( ) A． B． C． D．（0，2） 举一反三： 1.函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 2.(05年广东高考题)函数是减函数的区间为( ) （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 2．2 一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内 变化的快 陡峭 平缓 在定义域内可导，的图像如图， 则导函数的图像可能是（） A B C D 2．3理解函数的单调性与其导数的关系 (1)根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减． (2)在某个区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性． 函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数，则对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)不恒等于零（只有有限个点处为0）． 1. 函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 2. 已知函数,()上任一点( ,)处的切线斜率为k=，则该函数的单调递减区间为( ) A B C 和（1 2） D 3．已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( ) 4．已知函数，其导函数的图象如右图，则： A．在(-，0)上为减函数 B．在x=0处取得最大值 C．在（4，+）上为减函数 D．在x=2处取得最小值 6.函数的单调减区间是__________. 7．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则= 。 8.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是 9（06山东卷）设函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 讨论f(x)的极值. 解：由已知得 ， 令，解得 . （Ⅰ）当时，，在上单调递增 当时，，随的变化情况如下表： 0 + 0 0 单调增 单调减 单调增 在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当时，函数没有极值. 当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值. 10.（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。 （Ⅰ）求、的值。 （Ⅱ）求的单调区间与极值。 解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知， 和是函数是单调递增区间； 是函数是单调递减区间； 在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。 考点 利用导数证明不等式 考例1. 当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x. 思路分析：假设构造函数f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以得到证明. 证明：令f(x)=e2x－1－2x. ∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1) ∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0 ∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数. ∵f(0)=e0－1－0=0. ∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0. ∴1+2x＜e2x 锦囊妙计：通过构造函数, 利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值, 利用单调性证明一个不等式。这也是证明不等式的一个种方法. 举一反三: 已知x1，证明不等式x1n(1+x) 思路分析： 构造函数，利用导数知识讨论的单调性,从而证得. 解：令，则，，在（1，上为增函数 ,∴当x1时,f(x)f(1),即x-1n(1+x) 1-1n20, ∴x1n(1+x).