知识讲解函数模型的应用举例基础.doc

函数模型的应用实例 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法. 2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用. 3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识. 【要点梳理】 【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】 要点一、解答应用问题的基本思想和步骤 1.解应用题的基本思想 2.解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景. 上述四步可概括为以下流程： 实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答). 要点二、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它. 其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系. 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率. 【典型例题】 类型一、已建立函数模型的应用题 例1.心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的公式： ． 问开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ 【答案】开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟． 【解析】 当0＜x≤10时， f (x)=―0.1x2+2.6x+43=―0.1(x―13)2+59.9， 可知f (x)在（0，10）上单调递增，故其最大值为 f (10)=―0.1×(―3)2+59.9=59． 显然，当16＜x≤30时，f (x)递减， f (x)＜－3×16+107=59． 因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟． 【总结升华】（1）解决分段函数模型问题的关键在于“分段归类”，即自变量属于哪一段就选用哪段的函数【解析】式来分析解决问题．（2）求解“已建立数学模型”的应用问题关键是抓住已建立的函数模型，选择合适的方法求解建立的数学模型．注意一定要“读”懂模型． 例2. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： ，其中x是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数f (x)． （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润） 【思路点拨】这里已有函数模型，只需对分段讨论，写出利润的表达式即可。 【答案】（1）； (2) 每月生产300台仪器时，利润最大．最大利润为25000元． 【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x， 从而． （2）当0≤x≤400时， ， ∴当x=300时，有最大值25000； 当x＞400时，f (x)=60000－100x是减函数， f (x)＜60000－100×