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第六篇 与圆有关的计算问题 考点梳理 正多边形与圆 1.正多边形的相关概念 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形和圆： 正多边形是对称图形。当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。 与正多边形有关的概念： a 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心； b 正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径； c 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n. d 正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。 2.正多边形的计算 1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。 2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。 3.在正n变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n边形的半径，底边是正n边形的边，顶角是正n边形的中心角；底边上的高是正n边形的内切圆的半径，它的长是正n边形的边心距。 注：正多边形半径R和边长a、边心距r之间的数量关系式 提示：解决圆和正多边形的计算问题通常构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理来解决. 弧长和扇形面积公式 设的半径为，圆心角所对弧长为， 弧长公式： 扇形面积公式： 圆柱体表面积公式： 圆锥体表面积公式：(为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法 典例探究 【例1】 已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R,则r∶a∶R等于（ ） A．1∶∶2 B．1∶∶2 C.1∶2∶ D.1∶∶ ） A. 1∶2∶3 B. C. D. 【例2】如图1，矩形ABCD的边，现将矩形放在直线上且沿着向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时(如图所示)，则顶点A所经过的路线长是_________． 变式训练：如图2，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为( ) A．10cm B．35cm C．45cm D．25cm 【例3】一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是 ．(结果保留)cm2． 如图，在中，分别以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．(结果保留) 的位置，且点、仍落在格点上，则线段AB扫过的图形面积是 平方单位（结果保留π） 【例4】如图已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为(　　) A． B． C． D． 某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为． 【例5】已知为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点，点在上．一只蜗牛从点出发，绕圆锥侧面爬行，回到点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是( ) 变式训练：如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为10cm．母线长为10cm．在母线上的点处有一块爆米花残渣，且cm，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm， E为BC上一点，以CE为直径作⊙O,AB与⊙O相切于点D，连接CD,若BE=OE=2. （1）求证：∠A=2∠DCB； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留和根号) 【例7】某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在和扇形中， 与、分别相切于A、B，，E、F事直线与、扇形的两个交点，EF=24cm，设的半径为x cm，① 用含x的代数式表示扇形的半径； ② 若和扇形两个区域的制作成本分别为0.45元和0.06元，当的半径为多少时，该玩具成本最小？ 课堂小结 熟记常用基本概念和公式 对于弧长和扇形面积公式要熟记和理解 注意旋转类问题中点的轨迹问题 课后作业 选择题 1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A. B. C. D. 如图，小明从半径为5的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的