多元函数的偏导数与极值问题.ppt

* * * * * * * 对一元函数： 导数 描述了函数在 处的瞬时变化率， 它的几何意义就是函数曲线上点 处的切线的斜率。 对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题， 以二元函数 为例，我们分别讨论： 相对于 以及 相对于 的瞬时变化率——偏导数 偏导数的定义 偏导数的定义 设函数 在点 的某一邻域内有定义， 若 存在，则称此极限为 或 若 存在，则称此极限为 函数 在点 处对 的偏导数，记作 函数 在点 处对 的偏导数，记作 或 如果函数 在区域 D 内每一点 处对 和对 的 的偏导数都存在，那么我们就说函数 在 D 内可导， 它在 D 内的偏导数仍是 和 的二元函数，称为偏导函数，简称 偏导数，记为 或 求偏导方法：只需将其它变量视为常数，按一元函数求导则可。 偏导数的定义 例1 求下列多元函数的偏导数 解 解 例1 求下列多元函数的偏导数 解 例1 求下列多元函数的偏导数 解 例2 求下列多元复合函数的偏导数 解 以上三个函数复合成： 例3 讨论 在点 处的连续性和可导性。 解 令 则 极限与Ｋ有关，故极限不存在，即函数在点 处不连续。 但 即函数在点 处可导。 由此知，偏导存在未必连续。 但： 连续 偏导数存在。 连续 偏导数存在。 连续， 可导 对比一元函数，我们有：可导 连续， 不 同 ！ 例4 求曲线 在点 处的切线与 轴正方向所成的倾角是多少？ 解 所求倾角 偏导数的几何意义（演示） 高阶偏导数 由于二元函数的偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏 导数，称之为二阶偏导数，同理有三阶、四阶……等高阶偏导数。 例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数 解 例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数 若二元函数 的两个混合偏导 在区域 D 上连续，则它们必相等。 解 全微分的相关概念 如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。 设二元函数为 全增量：称 为函数在点 处的全增量。 关于x的偏增量：称 为函数在点 处关于x的偏增量。 关于y的偏增量：称 为函数在点 处关于y的偏增量。 全微分 则称函数在 处可微，并称 为函数在 处的全微分，记为： 显然有： 又 可以表示成 若二元函数 在点 处的全增量 只要特取 即可以推出 全微分、偏导数、连续性之间的关系 连续 可微 偏导存在 全微分存在 例1（1） 求： 解 例2 求函数 的全微分 解 因为 所以 例3 求函数 的全微分 解 因为 所以 多元函数的极值的概念 定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对 于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)，如果都适合f(x,y)f(x0,y0)， 则称函数在点(x0,y0)处有极大值；如果都适合f(x,y)f(x0,y0)， 则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。 使得函数取得极值的点称为极值点。 二元函数的极值图例 有极小值 有极大值 在原点没有极值 二元函数的极值图例