二次曲线方程化简、作图及分类-教学与应用数学本科毕业论文.doc

本科毕业论文 题目： 二次曲线的方程化简、作图及分类 学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学2007级5班 姓名： 曹振佐 指导教师： 李秀兰 职 称： 教授 完成日期： 2011 年 5 月 18 日 二次曲线的方程化简、作图及分类 摘 要:本文给出二次曲线的几种化简方法,其中对合同变换法化简中心二次曲线作了一点探讨.从二次曲线的由不变量所表示的简化方程出发给出了二次曲线作图的一种新方法,从而弥补了通过计算不变量只知简化方程而无法在原坐标系下画出二次曲线图形的缺陷. 特别地我们利用了二次曲线的主直径为新坐标系作坐标变换来化简一般二次曲线的方程,从而使二次曲线的几何理论和代数理论自然地联系在一起,使得一般二次曲线的方程化简、作图以及根据二次曲线标准方程的度量分类也就比较简捷地一起完成了. 关键词:坐标变换;不变量;主直径;主方向;合同交换  目 录 1 引言 1 2 预备知识 1 3 二次曲线的方程的化简 2 3.1 用坐标变换化简二次曲线 2 3.1.1 化简缺少项的二次曲线 2 3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线 2 3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线 3 3.1.2 利用转轴化简含有项的二次曲线 3 3.1.3 一般二次曲线方程的化简 4 3.1.3.1 中心曲线的化简 4 3.1.3.2 非中心二次曲线的化简 5 3.2 通过主直径, 主方向化简二次曲线 5 3.2.1 中心曲线的化简 6 3.2.2 无心曲线的化简 6 3.2.3 线心曲线的化简 7 3.3 用不变量、半不变量化简二次曲线 8 3.3.1 中心曲线的化简 8 3.3.2 无心曲线的化简 8 3.3.3 线心曲线的化简 9 3.4 正交变换化简二次曲线 9 3.5 合同变换法化简有心二次曲线 10 4 二次曲线的方程的作图 12 4.1 中心二次曲线的作图方法 12 4.2 无心二次曲线的作图方法 13 4.3 线心二次曲线的作图方法 15 5 二次曲线的方程分类 16 5.1二次曲线的分类 16 参考文献 171 引言 我们展开一般二次曲线的几何理论的研究,讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径与主直径等重要概念与性质,也导出了二次曲线按不同角度的分类和作图. 平面上的二次曲线的理论与空间的二次曲线的理论有着十分相识的地方.而平面的情况毕竟要比空间的情况简单得多,因此我们先对一般二次曲线的理论有了比较深入的了解后,再进一步学习空间的一般二次曲线的而理论将不会感到费力而它只是一种自然的推广.有二次曲线方程的系数构成的不变量以及完全可以画出二次曲线的形状大小,因此研究二次曲线的不变量也就成为解析几何的一个十分重要的中心问题.在这样的意义下,不变量也就最深刻地反映方程与曲线的关系,它也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识. 2 预备知识 在平面直角坐标系上,由二元一次方程 所表示的曲线,叫做二次曲线. 我们讨论二次曲线的几何性质以及二次曲线方程的化简,最后对二次曲线进行分类和作图. 为了方便起见,我们引进下面一些记号: , , , , , 这样我们容易验证,下面的恒等式成立 , 式也就可以写成 . 我们把的系数所排成的矩阵 叫做二次曲线的矩阵. 的系数所排成的矩阵 叫做的矩阵. 显然二次曲线的矩阵的第一、第二与第三行（或列）的元素分别是的系数. 下面我们引用加个符号 , , , . 这里的是矩阵的主对角元素的和,是矩阵的行列式,是矩阵的行列式. 3 二次曲线的方程的化简 3.1 用坐标变换化简二次曲线 3.1.1 化简缺少项的二次曲线 3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线 方法 将坐标原点移至二次曲线的中心,在新方程中可以消去一次项.中心的坐标由中心方程组 给出. 这样将变换公式 代入原方程,即可化简原二次曲线. 例1 化简二次曲线方程 . 解 二次曲线的系数矩阵 . 因为 ,所以 此曲线是中心二次曲线. 由中心方程组得 解 . 可得 变换公式 代入原方程, 整理得 .(椭圆) 3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线 例2 化简二次曲线方程 . 解 将方程的左端配方,得: . 令 可得 变换公式 于是方程化为.(椭圆) 3.1.2 利用转轴化简含有项的二次曲线 方法 转轴化简二次曲线方程,只要是旋转适当的角度,就可使方程中的乘积项消去,而由公