基于L-M优化算法太阳影子定位模型-建模2015A题优秀论文.doc

基于 L-M 优化算法的太阳影子定位模型 摘要 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法。 本文旨在通过数学建模的方法对太阳影子长度和角度的变化与拍摄地点和日期的关系 进行分析，从而研究该定位技术。 针对问题一，我们利用向量知识和几何关系推导得出影子长度与标杆高度h 、拍摄 地纬度 、太阳直射点纬度 和拍摄地与太阳直射点经度差 四个参数之间的函数关 系。而 由拍摄日期决定， 可由该地地方时表示；同时由于拍摄时刻一般记录的都是 北京时间，所以进行地方时和北京时间的转换。分别推导得出 随日期变化的公式和 由北京时间表示的公式，带入原函数关系，建立影长与杆长、拍摄点纬度、拍摄日期和 拍摄北京时刻之间关系的数学模型。 针对问题二，由于所给数据中影长随北京时间呈上升趋势，根据北京时间与地方时 的转换关系可以确定拍摄地大致的经度范围为 ( E 79.50 , E154.50 )。然后在这个纬度范 围内利用Levenberg-Marquart算法[8] ，以影长偏差为目标函数，对参数进行基于最小 二乘法的非线性拟合，得出可能地点的地理坐标为：( E108.630 , N 19.09 0 )。为提高数据 利用率，经坐标转换后，以上一步求得的经纬度各增减200作为经纬度有哪些信誉好的足球投注网站范围，将x ， y 值偏差作为目标函数再次进行拟合，得出拍摄地的地理坐标为：( E109.830 , N 18.15 0 ) 。 针对问题三，由于本问与问题二相比差别仅在于拍摄日期未知，且L-M算法能有效 处理冗余参数问题，所以采用与问题二基本相同的处理方法。先根据影长随时间变化趋 势确定附件2地点的经度范围 (19.750 ,94.750 )，附件3的经度范围 (102.750 ,180 0 ) ( ?180 0 , ?167.25 0 )。然后经过两次参数拟合，得出附件2地点的坐标：( E 79.730 , N 39.67 0 )， 拍摄日期为7月23日；附件3地点的坐标：( E111.14 0 , N 39.39 0 )，拍摄日期为11月8日。 针对问题四，先对视频每隔2分钟截取一帧，设图像中影长l 与拍摄正面的夹角为 ， 通过像素坐标确定l 在拍摄正面的投影l cos 与杆高h 的比值，进而得出影长。当拍摄日 期已知时，问题转化成问题二中以影长偏差为目标函数的非线性拟合模型，区别在于增 加了未知量 ，利用L-M算法求解拍摄地坐标，结果为( E111.14 0 , N 39.39 0 )；当拍摄日期 未知时，问题转化成问题三中以影长偏差为目标函数的非线性拟合模型，区别也是在于 增加了未知量 ，利用L-M算法求解拍摄地坐标为( E110.57 0 , N 39.60 0 ) ，日期为7月10日。  1  关键词：太阳影子定位，L-M 算法，非线性拟合  2  一、问题重述与分析 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技 术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 在本文中，我们主要对以下问题进行讨论： 问题一：建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律， 并应用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 分析：首先，以立杆点为原点建立平面直角坐标系，利用向量知识和几何关系进行 分析发现影长可由标杆高度、拍摄地纬度、太阳直射点纬度和拍摄地与太阳直射点经度 差四个量直接表示；而题目所给的参数为拍摄点地点地理坐标、日期和时刻，所以应当 寻找题目参数和影长表示参数之间的联系。经进一步的分析，我们发现太阳直射点纬度 实际上是由一年中的日期决定，而两地经度差可以由该地时刻表示，所以通过公式的带 入可以建立影长与题目所给参数之间的函数关系。 问题二：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确 定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能 的地点。 分析：在本问题中，已知量为日期和某地从北京时间 14:42 到 15:42 不同时刻影子 顶点坐标，要求确定拍摄地的经纬度。值得注意的是，题目中并没有给出杆的长度和坐 标系的方向。所以设题目所给坐标系与我们在问题一中建立的坐标系的夹角为 ，此时 待求的未知量为拍摄点经度 、纬度 、杆长和坐标偏转角度 。为求解未知参数，一 个方式是将所给数据代入问题一已经得出的影长与参数关系式中进行解方程。在理论上 只需要四个数据就可以解含有四个未知量的方程，这就出现了对数据的利用率不高的情 况，