3.3.2基本不等式与最大(小)值.ppt

3.3.2 基本不等式与最大（小）值 * * 北师大课标必修5·§3.3 当且仅当a=b时，“=”成立 复习回顾 重要 不等式 你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为4cm的正方形；长5cm宽3cm的矩形；长6cm宽5cm的矩形……你会发现长为4cm的那个正方形的面积最大.这是因为：设矩形的长为xcm宽为ycm则x＋y＝8.这时，由基本不等式得： 即xy≤16, 当且仅当x=y=4时,等号成立.由此可知，边长为4的那个正方形的面积最大. 问题情境 用类似的方法证明：在面积为16cm2的所有不同形状的矩形中，边长为4cm的那个正方形的周长最小. 这表明下面的命题成立 思考交流 和x+y为定值S时，有√xy ≤ ， ∴ xy≤ S2. 上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最 大值 S2. S 2 1 4 1 4 (1)x，y都是正数,求证:如果 和x+y是定值s, 那么当x=y时, 积xy有最大值 s2 . （2）已知 ， 都是正数，求证：如果积 是定值p，那么当 时，和x+y有最小值 . y x = x y xy 例题讲解 例题讲解 注意！！ 1. 两个不等式的适用范围不同; 2. 一般情况下若“=”存在时，要注明等号成立的条件； 3. 运用重要不等式时，要把一端化为常数（定值）. 一正 、二定 、三相等 例2. 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. （1）现有可围36m的长网的材料，每间虎笼的长宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 例题讲解 解 设每间虎笼的长为x m，宽为y m，则由“有可围网长36m的材料”，得 4x+6y=36 即 2x+3y=18 设面积S=xy，由于 答 每间虎笼的长宽分别为4.5 m和3m时，可使面积最大. 例3：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积200m2的三级污水处理池（平面图如上图）.如果池四周围墙建造单价400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价. 分析：设污水处理池的长为 x m,总造价为y元， （1）建立 x 的函数 y ； （2）求y的最值. 例题讲解 解：设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元，则 y=400· (2x+200/x×2)+248·(2×200/x) +80×200 =800x+259200/x+16000. 当且仅当800x=259200/x, 即x=18时，取等号 ≥ 答：池长18m，宽100/9 m时，造价最低为30400元. =30400.