第2讲数学基础.ppt

机器人运动的控制就是控制机器人各连杆、各关节等彼此之间的相对位置和各连杆、各关节的运动速度以及输出力的大小。 涉及到各连杆、各关节、作业工具、作业对象、工作台及参考基准等彼此之间的相对位置的关系。 因此，本章对机器人位姿描述和坐标变换进行分析，设置机器人各连杆坐标系，确定各连杆的齐次坐标变换矩阵、建立机器人的运动学方程。 姿态和方向角\ 位置和坐标\ 连杆变换矩阵 * 位置描述 （位置矢量） 方位描述（旋转矩阵） 机器人学导论 2.1 位置和姿态的表示 * 2.1 刚体位置和姿态 方位描述 绕x,y,z轴旋转 角的旋转矩阵分别为 第二章 数学基础 * 2.1 位置和姿态的表示 位姿描述 相对参考系，坐标系的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量和旋转矩阵描述。这样，刚体的位姿可由坐标系来描述，即有 第二章 数学基础 * 2.1 位置和姿态的表示 手爪坐标系 原点由矢量p表示。 接近矢量a：z向矢量 方向矢量o：y向矢量 法线矢量n：它与矢量o和a一起构成一个右手矢量集合，并由矢量的交乘所规定：n = o ? a。 手爪方位： 手爪位姿： 第三章 机器人运动学 * 2.2 坐标变换 平移坐标变换 第二章 数学基础 * 2.2 坐标变换 旋转坐标变换 第二章 数学基础 * 2.2 坐标变换 复合变换 (3-10) 第二章 数学基础 * 2.3 齐次坐标变换 齐次坐标 用四维向量表示三维空间一点的位置P 用齐次坐标表示位置向量后，齐次变换阵T是4×4维矩阵: f=[0 0 0] * 2.3 齐次坐标变换 齐次变换 其中： 第二章 数学基础 (3-13) * 2.3 齐次坐标变换 第二章 数学基础 旋转变换矩阵 式Rot(k,θ)称为广义转动变换矩阵，它不是对称阵，由它可导出任一基本转动变换矩阵。例如，当kx＝1，ky＝kz＝0时， 广义转动变换矩阵的主要用途在于当给定任意复合转动的转动变换矩阵T以后，可令其与广义转动变换矩阵相等，便可求得绕一个等效轴旋转一个等效转角的单一转动角。 即令： 展开为： 展开为： * 等效转角与转轴 令 ，即 ： 第二章 数学基础 等式两端的对角线元素相加，有： 由于 故 与对角线对称元素之差有： 两端平方化简，有： (3-21) 当0＜ θ＜1800时， s θ取“+”号，此时θ可唯一地确定为： 其中， θ为等效转角。向量k的分量为： 它们确定了向量k的方位，即等效转轴的方位。 * 2.4 物体的变换及逆变换 物体位置描述 我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物体的六个点变换如下： 第二章 数学基础 * 2.4 物体的变换及逆变换 第二章 数学基础 * 2.4 物体的变换及逆变换 复合变换 ： 第二章 数学基础 * 2.4 物体的变换及逆变换 变换方程初步 第二章 数学基础 * 2.4 物体的变换及逆变换 变换方程初步 必须建立机器人各连杆之间，机器人与周围环境之间的运动关系，用于描述机器人的操作。要规定各种坐标系来描述机器人与环境的相对位姿关系。在图2.9(a)中，位姿关系可用相应的齐次变换来描述，机器人控制和规划的目标与其他变换之间的关系可用空间尺寸链（有向变换图）来表示，如图2.9(b)所示 。 第二章 数学基础 * 2.4 物体的变换及逆变换 齐次变换的逆变换 第二章 数学基础 * 2.5 小结 机器人的数学基础 空间任意点的位置和姿态的表示 坐标和齐次坐标变换 物体的变换与逆变换 通用旋转变换 为研究机器人运动学、动力学、控制建模提供了数学工具。 第二章 数学基础 *