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淋雨问题数学建模 数091-2班 张烁 来教室的时候天气晴朗均未带雨伞，而现在突降大雨。教室和家只相距1km,你有急事课后必须冒雨跑步回家。试建立数学模型探讨是否跑得越快淋雨就越少？ 一、问题提出 1）把人体视为长方体， 2）降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）降雨方向保持不变。 4）你以一定常的速度跑完全程。 二、模型假设及符号说明 符号说明 人在雨中行走时可能出现以下三种情形： 情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此时降雨淋遍全身 三、模型的建立 淋雨的面积 雨中行走的时间 降雨强度 模型中 （1） 情形二：雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为 此时后背淋不到雨（如图2所示） 图2 当雨迎面吹来时，只有顶部和人体的迎面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为s1，迎面部分面积为s2，则 分别计算其淋雨量如下： 淋雨时间： 雨速垂直分量： 雨速水平分量： 顶部淋雨量： 迎面淋雨量： 所以总的淋雨量为： （2） 情形三：雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人的背后夹角为α，此时正面淋不到雨（如图3所示） 图 3 当雨从背面吹来时，只有顶部和人体的背面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为s3，背面部分面积为s4，则 ，分别计算其淋雨量如下： 淋雨时间： 雨速垂直分量： 雨速水平分量： 故相对雨速v= 方向与v相同，故相对雨速 顶部淋雨量： 背面的淋雨量： 总淋雨量为： （3） 由（1）式知总淋雨量 易知 v越大，Q值越小，故此时跑得越快，所淋到的雨量越少。即：当 时， 最小； 对（2）式关于v求导可得 ： 故Q关于v是单调递减函数，故此种情况下，当 最小； 时 对（3）式，分以下两种情况讨论如下： 关于v求导可得 可知v越大，淋雨量Q越小 ，又因为 故知当 时，Q最小