2.1函数的连续性与间断点.doc

第2章 函数 ( 函数的连续性 定义 1： 设在的某邻域内有定义，若，就称函数在 点处连续。 说明: (1) 在点连续，不仅要求在点有意义，存在，而且要，即极限值等于函数值。 (2) 若，就称在点左连续。若，就称在点右连续。 (3) 区间上的连续函数。如果在区间 上的每一点处都连续，就称在 上连续；并称为上的连续函数；若 包含端点，那么在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。 定义2：设在的某邻域内有定义，若对，当时，有，就称在点连续。 定义3：设在的某邻域内有定义，若当时，有，即，或，就称在点连续。 定理1：在点连续在点既左连续，又右连续。 （在后面证明） 例1: 证明在点连续。 证明：，又，所以由定理1 在点连续； 且 。 例2: 讨论函数 在 的连续性。 解： ，因为 ，所以该函数在点不连续，又因为，所以为右连续函数。 例3: 说明 黎曼函数 在内任何无理点处都连续任何有理点处都不连续。 证明：设为无理数。任给(不妨设)，满足的正整数显然只有有限个(但至少有一个，如)，从而使的有理数只有有限个(至少有一个，如)，设为。 取， 则对任何，当为有理数时有，当为无理数时有。于是， 对任何，总有。这就证明了在无理点处连续。 现设为内任一有理数。取，对任何正数(无论多么小)，在内总可取到无理， 使得 。所以在任何有理点处都有不连续。 ( 间断点 简单地说，若在点不连续，就称为的间断点，或不连续点。 间断点有下列三种情况： （1）在没有定义； （2）不存在； （3）虽然不存在，也虽然在点有定义，但。 间断点的类型: 例1: 设，当，即极限不存在，所以为的间断点。因为 ，所以 为无穷间断点。 例2: 在点无定义，且当时，函数值在 与 之间无限次地振荡，而不超于某一定数，这种间断点称为振荡间断点。 例3: 在点无定义，所以为其间断点，又，所以若补充定义，那么函数在 点就连续了。故这种间断点称为可去间断点。 例4: 函数在点不连续，但左、右极限均存在，且不等于，这种间断点称为跳跃间断点。