2003年上海市普通高校招生考试数学试卷(文理合卷).doc

2003年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（文理合卷） 一、填空题 1. 函数的最小正周期________. 2. 若是方程的解，其中，则__________. 3. 在等差数列中，，则_________. 4. (理) 在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标是___________. (文) 已知定点,点在直线上运动,当线段最短时,点的坐标是_______. 5. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所 成角的大小等于_____________________.(用反三角函数值表示) 6. 设集合，则集合________. 7. 在中，，则____________.(用反三角函数值表示) 8. 若首项为，公比为的等比数列的前项和总小于这个数列的各项和，则首项， 公比为的一组取值可以是___________. 9. 某国际科研项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机选取两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为__________.（结果用分数表示） 10. 方程的根___________.（结果精确到） 11. 已知点，其中为正整数. 设表示外接圆的面积，则________. 12. 给出问题：是双曲线的焦点，点在双曲线上. 若点到焦点的距离等于，求点到焦点的距离. 某学生的解答如下： 双曲线的实轴长为8，由，即，得 或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内；若不正确，将正确结果 填在下面空格内: ________________________________________________________________. 二、选择题 13. 下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是 ( ) A. B. C. D. 14. 在下列条件中，可判断平面与平行的是 ( ) A. 都垂直于平面； B. 内存在不共线的三点到的距离相等； C. 是内两条直线，且∥，∥； D. 是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥. 15. (理)设均为非零实数,不等式和 的解集分别为集合和，那么“”是“”( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 (文) 在和四点中，函数的图象与其反函数图象的 公共点只可能是 ( ) A. B. C. D. 16. (理) 是定义在区间上奇函数，其图象如图所示. 令，则下列关于函数的叙述正确的是 ( ) A. 若，则函数的图象关于原点对称； B. 若，则方程有大于2的实根； C. 若，则方程有两个实根； D. 若，则方程有三个实根. (文) 是定义在区间上奇函数，其图象如图所示. 令，则下列关于函数的叙述正确的是 ( ) A. 若，则函数的图象关于原点对称； B. 若，则方程有大于2的实根； C. 若，则函数的图象关于轴对称； D. 若，则方程有三个实根. 三、解答题 17.（12分）已知复数，求的最大值和最小值. 18.（12分）已知平行六面体中，平面， 若，直线与平面所成的角等于. 求: 平行六面体的体积. 19.（14分） (理) 已知数列（为正整数）是首项为，公比为的等比数列. 求和：； 由(1)的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明. (文) 已知函数. 求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 20.（14分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高米，隧道全长千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. 若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？ 若最大拱高不小于6米，则应该如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为. 柱体体积为：底面积乘以高. 本题结果均精确到米） 21.（16分）在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点. 已知 ，且点的纵坐标大于零. (1) 求向量的坐标； (2) 求圆关于直线对称的圆方程； (3) 是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求的取值范围. 22.（18分） (理) 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意， 有成立. (1) 函数是否属于集合？说明理由； (2) 设函数的图象与的图象有公共点， 证明：； (3) 若函数，求实数的取值范围. (文) 已知数列为首项为，公比为的等比数列，为其前项和（1）计算 、 的值； （2）归纳