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2009年福建省质检解析几何题的高数背景探究 　　题目：（如图1所示）已知椭圆Ｃ的离心率，长轴的左右端点分别为. 　　（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程； 　　（Ⅱ）设直线与椭圆Ｃ交于两点， 直线与交于点.试问：当变化时，点 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程， 并证明你的结论；若不是，请说明理由. 　　本题是一道具有射影几何背景的解析几何题，命题人将高等数学观点初等化，进而命制出这样一道立意深远的试题.为了探究本题的高数背景，让读者知道知识的来龙去脉，本文首先介绍射影几何的极点、极线概念，并引用射影几何中的3个定理，接着给出该题结论的几个推广，在此基础上进一步揭示往年高考解析几何题所蕴涵的射影几何背景. 　　一．射影几何知识点简介 1．射影几何中极点、极线的定义　 在射景几何中，如图２所示，给定二次曲线，点Ｐ不在曲线上，过Ｐ作直线与曲线交于两点，如果Ｑ是直线上一点使，则称点Ｐ与Ｑ关于二次曲线调和共轭或点Ｑ与Ｐ关于互为共轭点. 　　2．二次曲线中有关极点、极线在的几个结论 　　结论1：过二次曲线上一点的切线方程为，，置换规律为，， 　　结论2：过二次曲线内一点的诸弦端点处的切线交点的轨迹方程为 结论3：过二次曲线外的直线上任一点作曲线的切线（可作两条切线），则切点连线都交于一点. 上述3个结论在射影几何中把点称为二次曲线 的极点，直线称为二次曲线的极线.极点与极线是一个统一体，相辅相成，互相确定. 　　特别地当点为二次曲线的焦点时，便有如下结论： 结论4：若点为二次曲线的焦点，则点的极线是该焦点所对应的准线.反之亦真. 　　3．二次曲线中有关极点、极线的3个定理 　　定理1：（如图3所示）内接于一个非退化二次曲线的简单四点形的两对对边的交点及对顶点的切线的交点必四点共线［１］. 　　定理2：不在二次曲线上的点总有确定的极线［１］. 　　定理3：若点不在二次曲线上，则点关于二次曲线的极线方程为： 　　二．省质检题的射影几何背景探究 　　由定理1知道，内接于椭圆Ｃ的四点形的对两条对边的交点，与过点切线的交点在同一直线上.弦都过定点，由结论２可知，直线的交点所在的直线方程，是点关于椭圆Ｃ所确定的极线方程，根据定理3易得直线方程为. 三．省质检题的几个推广结论 　　从上述射影几何中的４个结论和２个定理及省质检题的背景分析，容易得出省质检题具有如下几个推广结论： 　　结论5：已知椭圆Ｃ的左、右顶点分别是，设直线（）与椭圆Ｃ交于两点，直线与交于点，则当变化时，点恒在定直线上. 　　结论6：已知椭圆Ｃ的左、右顶点分别是，设点是直线（）上的一个点，直线分别与椭圆Ｃ相交于、两点，则直线恒过定点. 结论7：已知椭圆Ｃ，点，过点的两条弦分别交椭圆Ｃ于点Ａ、Ｂ、Ｍ、Ｎ，则直线ＡＮ、ＭＢ的交点在定直线上.　 结论8：已知椭圆Ｃ，点，过点的两条弦分别交椭圆Ｃ于Ａ,Ｂ,Ｍ,Ｎ，则ＡＮ,ＭＢ的交点在定直线 注：结论5～8把椭圆换成双曲线或抛物线也有相应的结论. 四．高考题的射影几何背景赏析 近几年数学高考题中具有现代数学背景的考题是十分常见的，而解析几何若要体现现代数学背景，往往可以从射影几何中找到其影子. 　　例1．（2006年湖北卷）如图4所示，设Ａ、Ｂ分别为椭圆的左、右顶点，椭圆半长轴长等于焦距，且为它的右准线. 　　（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设Ｐ为右准线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内. 分析：对于第（Ⅱ）问，由于点Ｐ在椭圆的右准线上，根据射影几何知识可知直线 ＭＮ恒过椭圆的右焦点.事实上，当直线ＭＮ垂直于轴时，线段ＭＮ是所有过右焦点弦中的长度最短的.所以若能证明当直线ＭＮ垂直于轴时，点在以为直径的圆内，则问题可迎刃而解.　　 　　例2．（2006年全国卷）已知抛物线的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且，过Ａ、Ｂ两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ. 　　（Ⅰ）证明：为定值； 　　（Ⅱ）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值. 分析：对于第（Ⅰ）问，由射影几何知识可知，过Ａ、Ｂ两点分别作抛物线的切线，它们的交点Ｍ在其准线，从而快速找到解题的突破口，即应先求出点Ｍ所在的直线方程，然后设出点Ｍ的坐标，并把它代入进行证明.　　 例3．(2008年安徽卷)设椭圆过点，且左焦点为. （Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程； （Ⅱ）当过点的动直线与椭圆Ｃ相交于不同的点Ａ、Ｂ时，在线段ＡＢ上取点Ｑ，满足，证明：点Ｑ总在某定直线上. 分析：第（Ⅰ）问得椭圆Ｃ的方程为. 对于第（Ⅱ）问，由已知条件，可得，根据射影几何中关于极点、极线的定义可知，Ｐ、Ｑ关于椭圆Ｃ调和共轭，所以点Ｑ在点Ｐ关于椭圆Ｃ的极线上，由定理3易得点Ｑ所在的直线为： 通过以上分析发现，正是因为省质检题和三道高考题都具有相同的射影几何背景，才使问题变得有趣，才使我们能深入理