D1_2无穷小无穷大.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 复习 定理 : 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 . 若 ，则 思考与练习 (6). 若极限 存在, (7). 设函数 且 存在, 则 是否一定有 第四节 ？ 第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第四节 无穷小与无穷大 当 一、 无穷小 定义1 . 若 时, 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 为 时的无穷小 . 时为无穷小. 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 时, 函数 (或 ) 则称函数 为 定义1. 若 (或 ) 则 时的无穷小 . 其中? 为 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 对自变量的其它变化过程类似可证 . 二、 无穷大 定义2 . 若任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 但 不是无穷大 ! 例 . 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 铅直渐近线 说明: 三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 第一章 二、 极限的四则运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 极限运算法则 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， ( P57 题 4 (2) ) 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 习题1-5，3. 求下列极限 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 二、 极限的四则运算法则 则有 定理 3 . 若 推论: 若 且 则 ( P46 定理 5 ) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 定理 4 . 若 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 证: 定理 5 . 若 且 B≠0 , 则有 定理6 . 若 则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . x = 3 时分母为 0 ! 例3. 设有分式函数 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例4. 若 例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 例6 . 求 解: 分子分母同除以 则 “ 抓大头” 原式 一般有如下结果： 为非负常数 ) ( 如 P47 例5 ) ( 如 P47 例6 ) ( 如 P47 例7 ) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 要求分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去零因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” 小 结 思考及练习 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件 矛盾. 解: 原式 2. 问 3. 求 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = 作 业 P49 : 1 (5)，(7)，(9)，(14). 第六节 目录 上页 下页 返回 结束