诸炜鑫数学强化班讲义答案.doc

徐州海文 “中值定理”部分内容的题目及解答 题型1 的证明 方法： （1）函数在区间上满足连续函数的零值定理； （2）函数在区间上满足罗尔定理； （3）函数在区间或上为极值。 例1 （1）设在上连续，在内可导，且满足： 试证： 存在一点，使，。 解答： （2）设在上二阶可导，且： ，证明： 1，存在； 2，存在。 解答：（1） （2） （3）在内可导，且：为有限常数）， 证明：存在一点，使，。（考虑时的情况。） 解答 1， 满足 2， 时，令： 则： 设：，则在内和“1”有相同的条件 所以： （4）在上连续，在内可导，设连接两点的直线段与曲线交与点，证明： 存在一点，使，。 解：设： 对于 对于 对于 题型 2 或相关表达式的证明 方法（1）：设辅助函数（1）即为所证结论 （2）满足罗尔定理条件。 方法（2）：常数值法 （一般）表达式为对称型或轮换对称型，可设端点为，构造辅助函数 例2（1）设在上连续，在内可导，且满足： 试证： 存在一点，使，. 解：设： 则： 对于 (2) 在上可微，且，证明：存在一点 使得： 解： 所以：辅助函数为： 也可以写成： （3）在上连续，证明：至少存在一点 使得： 。 解： 所以，辅助函数设为： 例3 （1）在上连续，在内可导，证明： 存在一点，使，。 解： 柯西定理的基本形式 （2）在上可微，且，证明：存在一点， 使，。 解答：设： 方便起，将换成，则： 即为辅助函数 （3）在上可微，且，证明：存在一点， 使，。 解：设： 方便起，将换成，则： 即为辅助函数 题型3 ，满足某种关系式的证明 方法：将分开，一般用两次中值定理。 例4 （1），证明： 1，，使得： 2，。 解： 对于 对于 （2），证明：， 满足： 解： （3）设函数在上连续，在内可导，且，证明： 使，。 解： （4） ，证明： ，对任意正数，均有：。 解：对任意正数 对于 对于 题型4 杂题 例5（1）设在上具有二阶连续导数，且，证明： 1，，存在唯一的， 使； 2，。 解： 上式两边求极限： （2）在上3阶可导，，证明： 存在一点，使，。 解： ------（1） ------（2） （2）-（1）得： （3）在上有2阶连续的导数，，证明： 。 解：设： 2