第十三章Green函数解的积分.ppt

第十三章 Green函数 解的积分公式 12.1 泊松方程的Green函数法 1) Green公式 设u(r )和v(r) 在区域T及其边界Σ上具有连续一阶导数,在T中具有连续二阶导数. (1)式称为第一格林公式. 把u与v互换可得: (1)-(2)式得: (3)称为第二格林公式. 现在讨论带有一定边界条件的Poisson方程的求解问题. 定解问题为: (4) (5) 其中φ(M)是区域边界Σ上的给定函数.当α=0,β?0时(5)式为第一类边界条件,而当α ?0 β =0时为第二类边界条件,一般情况为第三类边界条件. (二) 用电像法求Green函数 1) 无界空间的Green函数 1. 基本解 从方程的解来看,Green函数本身带有边界条件.但从方程求解上说一个非齐次方程解可分解为两部分,其中一个解是带边界的齐次方程的解,另一个解为不带边界的非齐次方程的特解. 例如 泊松方程 (1) 2)用电像法求Green函数 设有一接地导体球,球半径为R,在距球心为a处有一个电量为ε0的点电荷,求空间的电势. 解: 球内电势G=0, 对球外电势G满足方程 (6) 例题1 在球r=a 外求解Laplace方程在第一边值问题. 定解问题 Δu=0 u|r =a=f(θ,φ) 解:对球外区域 例题2 在半无界空间z0内求解Laplace方程在第一边值问题. 定解问题 Δu =0 (z0) u|z=0=f(x,y） 解：此问题的格林函数 G为: 例题3 在二维的半平面y0内求解 Laplace方程在第一类边值问题. 定解问题为 解:对应的Green函数为 * 为了研究点源所产生的场,引入δ函数来描述点源的密度分布. Δv(r,r0)=δ(r-r0) (6) 下面我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式. (9)式称为泊松方程的基本积分公式. 2)Green函数 一般我们把满足u 的相对应齐次边界条件,并由点源所产生的场函数称为Green函数. 对应于第一类边值问题: (10) (11) 其中G0与G1分别满足: (2) (3) 称G0是基本解,是无界空间中非齐次方程的解,而G1是相应的齐次方程的解. 对三维空间 对二维空间 *