(7-9)高等数学章期末复习内容.ppt

5. 隐函数的求导法则 隐函数( 组) 存在定理（定理1、2、3） 隐函数 ( 组) 求导方法： 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法3. 利用微分形式不变性 ; 方法2. 代公式 . 6. 多元函数微分法的应用 （1）在几何中的应用 求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) ? ? ? ? 目录 上页 下页 返回 结束 第七章 常系数齐次、非齐次线性微分方程的求解 一 常系数齐次线性微分方程的求解 二 常系数非齐次线性微分方程的求解 特征根: (1) 当 时, 通解为 (2) 当 时, 通解为 (3) 当 时, 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 一 常系数齐次线性微分方程的求解 若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程: 推广: 例1. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 例3. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例4. 解: 特征方程: 特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解 例5 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 例6. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 例7. 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 例8 的一个特解 . 解: 本题 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 ，根为 例9. 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 一、内容小结 二、习题讲解 空间解析几何 第八章 一、内容小结 1、向量的坐标表示; 利用坐标作向量的线性运算 ; 向量的模、方向角、投影 。 2、数量积的定义及坐标表示（两向量夹角公式）；向量积的定义及坐标表示；向量的关系（平行，垂直）。 3、特殊的空间曲面（球面，旋转曲面及柱面）；一般的二次曲面：椭球面（旋转椭球面）、抛物面（椭圆抛物面：旋转抛物面和双曲抛物面）、双曲面（单叶双曲面：旋转单叶双曲面和双叶双曲面：旋转双叶双曲面）。 （1） 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: （2）. 二次曲面 除此之外，还有椭圆柱面，抛物柱面，双曲柱面和平面 重点： 1. 旋转曲面，柱面方程及几何形状（会画）。 2 一般二次曲面方程的形式及粗略几何形状。粗略：一般曲面对应一个旋转面的特例（除马鞍面外），将旋转面作为此曲面的粗略画法。精确画法：在旋转面的基础上，将某坐标轴伸缩可得到此曲面的精确形状，如椭球面可由旋转椭球面得到。 马鞍面需要单独记忆。 4、空间曲线的方程形式（一般方程和参数方程: 圆柱螺旋线的参数方程形式）；空间曲线在坐标平面上的投影的求法。 方法：先求出空间曲线在给定平面上的投影柱面方程；将投影柱面方程与给定平面方程联立，即求得投影曲线方程。 注：面所围成的体的投影需借助图形得到。 如37页第7题。 P37 题 7 空间平面 一般式 点法式 截距式 三点式 5. 平面的方程 为直线的方向向量. 6、空间直线 一般式 对称式 参数式 为直线上一点; 面与面的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 7.线面之间的相互关系 直线 线与线的关系 直线 垂直: 平行: 夹角公式: 平面: 垂直： 平行： 夹角公式： 面与线间的关系 直线: 8. 相关的几个问题 (1) 过直线 的平面束 方程 ? (2)点 的距离为 到平面 ? ：A x+B y+C z+D = 0 d 到直线 的距离 为 (3) 点 d 二、习题讲解 第九章 一、 内容复习 二、讲解习题 多元函数微分法 1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规