山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学131柱体锥体台体的表面积学案新人教版必修2.doc

山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学必修二学案：1-3-1柱体锥体台体的表面积 [学习要求] 1．通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的 求法； 2．了解柱、锥、台体的表面积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题； 3．培养空间想象能力和思维能力． [学法指导] 通过经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，理解几何体的表面积的推导过程，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心． 1．棱柱、棱锥、棱台是由多个 围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的 ． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ． 3．旋转体的表面积 名称 图形 公式 圆柱 底面积：S底＝ 侧面积：S侧＝ 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝ 侧面积：S侧＝ 表面积：S＝ 圆台 上底面面积：S上底＝ 下底面面积：S下底＝ 侧面积：S侧＝ 表面积：S＝ 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题1　在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？ 答　正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是围成它们的各个面面积的和，也就是展开图的面积．如下图所示． 问题2　几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，棱柱，棱锥，棱台的侧面展开图是怎样的？如何求棱柱，棱锥，棱台的表面积？ 答　如下图所示，只需求出各个展开图中的各部分平面图形的面积，然后求和即可． 例1　已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积． 分析　由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍． 解　先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D. 因为BC＝a，SD＝＝＝a. 所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2. 因此，四面体S—ABC的表面积S＝4×a2＝a2. 小结　在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用． 例 　已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S—ABCD，求它的表面积． 解　∵四棱锥S—ABCD的各棱长均为5，各侧面都是全等的正三角形． 设E为AB的中点，则SE⊥AB. ∴S侧＝4S△SAB＝4××AB×SE＝2×5×＝25. S表面积＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1)． 例 　已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积． 解　如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心， 则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12. 连接OE、O1E1， 则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3. 过E1作E1H⊥OE，垂足为H， 则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17， 所以E1E＝3. 所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E＝2×(12＋6)×3＝108. 小结　解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决． 跟踪训练　在上例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？ 解　如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P. 取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明)．O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6， 则有＝＝， 即＝.所以PO1＝O1O＝12. 在Rt△PO1E1中，PE＝PO＋O1E＝122＋32＝32×17， PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17， 所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3. S侧 ==所以E1E＝PE－PE1＝2×(12+6)×3＝108. 例 将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为（ ），表面积增加了(　　) A．6a2　　　　　　　　 B．12a2 C．18a2 D．24a2 [答案]　C，B [解析]　原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2