f(t)理论分岔现象及其整体动力学行为word论文.docxVIP

IV第一章宇宙学研究背景1.1宇宙学理论基础爱因斯坦最早在创立现代宇宙学理论时提出一个假设：宇宙在大尺度上是均匀且各向同性的，这就是宇宙学原理。后期观测到的星系大尺度均匀分布以及微波背景辐射的各向同性也证实了宇宙学原理，它和广义相对论构成了现代宇宙学的理论基础。在宇宙学原理的限制下，时空度规采用Robertson-Walker(RW)度规：ds2=dt2?a2(t){dr21?kr2}+r2dθ2+r2sin2θdφ2其中r，θ，φ为共动坐标；k为代表空间曲率的常数，可取+1，0，-1，分别代表闭合宇宙（+1），平坦宇宙（0），开放宇宙（-1）。a(t)是宇宙尺度因子，它是时间的任意函数，可以随时间变化或不变，表示宇宙的膨胀、收缩或静止。因此，在RW度规描述下，膨胀宇宙的动力学性质就可以由a(t)决定。根据爱因斯坦方程，可以确定a(t)随时间的演化情况：1Rμν?2gμνR=8πGTμν(1.1)其中Rμν 为Ricci张量，R为Ricci标量，G为牛顿引力常数，gμν 为RW度规，Tμν为能动张量。宇宙的物质成分作为引力源，一般被视为均匀的理想流体，那么Tμν=(ρ+p)uμuν+gμνp(1.2)其中uμ 为物质（流体）的四维速度且uμ=(1，0，0，0)，ρ和p是物质的能量密度和压强。将RW度规和（1.2）式带入爱因斯坦方程（1.1）式可得到a(t)的两个演化1第一章宇宙学研究背景上海师范大学硕士学位论文方程：a¨= ?4πG(ρ+3p)a(1.3)3a˙2+k=8πGρa2(1.4)3以上两式是描述a(t)演化的基本方程，即基本形式的Friedmann方程。将（1.4）式对时间t求导，可以得到2a˙a¨=8πG3(ρ˙a2+2ρa˙a)(1.5)再将（1.3）代入，经计算可得3a˙ρ˙=?a(ρ+p)(1.6)如果给定物态方程，利用上式就可以把ρ表示为a的函数。设物质的物态方程为p = wρ(1.7)其中w是一个与时间无关的常数，由（1.7）式可得ρ∝a?3(1+w)(1.8)按照宇宙成分的分类，可以得到如下ρ的演化规律：（1）冷物质（非相对论性物质）p = 0?w= 0 ?ρ ∝a?3(1.9)（2）热物质（相对论性物质）p=ρ/3?w=1/3?ρ∝a?4(1.10)（3）真空能量p=?ρ?w=?1?ρ≡ρv=Const(1.11)根据ρ的演化规律和（1.5）式，对平直宇宙k=0的情况，我们可以得到a(t)随时间的变化规律：（1）冷物质a(t)∝t2/3；2（2）热物质a(t)∝t1/2；3（3）真空能量a(t)∝exp(Ht)，H=√8πGρv.若宇宙以真空能量为主，w=?1，由（1.3）式可知，a¨0，即膨胀的宇宙有一个正的加速度，所以上面第三种情况就相当于宇宙在加速膨胀。对于静态宇宙要求a¨=0且a˙=0，1917年爱因斯坦为了获得静态宇宙学解，人为地添加了一个常数Λ(Λ ≡8πGρv)。现在我们知道这个常数就是宇宙学常数，它直接联系到真空能量（常称为暗能量）。这样我们可以写出最一般形式的爱因斯坦方程，即包括真空能量（宇宙学常数Λ不为零）的情况：μνRμν=8πGS(m)+Λgμν(1.12)那么这种情况下Friedmann方程的普遍形式为：4πGΛa¨= ?(ρ+3p)a+a(1.13)33a˙2=8πGρa2+Λa2?k(1.14)33a(t)根据哈勃常数的定义：H≡a˙(t)，（1.14）式可改写为：H2=(a˙)28πGΛk=ρ+?(1.15)a33a2通常把基于宇宙学原理和爱因斯坦方程的宇宙学模型称为标准宇宙学模型（ΛCDM），Friedmann方程是标准宇宙学模型的基本方程。（1.15）式对宇宙任何时刻都成立，那么在宇宙现在的时刻t=t0有8πGΛk33a2H20=ρ0+?0(1.16)其中a0 =a(t0)，ρ0 =ρ(t0)。若宇宙的总物质密度包括物质和辐射两种成分，即ρ0=ρm0+ρr0，那么（1.16）式可化为：8πGρm01=3H28πGρr0+3H2Λ+3H0kH2a2(1.17)000 0为了便于分析宇宙物质成分的演化情况，需定义宇宙临界密度参数：ρc≡3H208πG=1.88×10?29h2g/cm3(1.18)3恒等式（1.17）就可以表示为1=ρm0ρc+ρr0ρcΛ+3H0kH2a2(1.19)0 0再定义以下宇宙学参数：?m=ρm0ρc8πGρm00=3H2(1.20)?r=ρr0 ρc8πGρr00=3H2(1.21)0?Λ=Λ3H28πGρΛ0=3H2=ρΛρc(1.22)k?k= ?H2 2(1.23)0a0分别表示物质密度参数、辐射密度参数、真空能量密度参数、宇宙曲率参数，那么（1.19）式给出一个重要的关系式：?m+?r+?Λ+?k= 1(1.24)我们可以