fock空间上的一类加权复合算子word论文.docxVIP

目录引言...........................................................................12.1 自伴加权复合算子..................................................... 112.2 正规加权复合算子..................................................... 142.3 复对称加权复合算子................................................... 18参考文献.....................................................................23致谢...........................................................................25i引言函数空间上的算子理论一直是泛函分析的一个重要课题,在经历了长期的研究之后,现己形成了一系列非常丰富的理论体系.函数空间上的算子理论主要以由函数定义的乘法算子,Toeplitz算子,Hankel算子,复合算子等作为研究对象,包括这些算子的有界性,紧性,谱集等问题.在这些算子中加权复合算子是乘法算子与复合算子的结合,但是相对于单独的乘法算子与复合算子,加权复合算子的性质并不是想象中的将乘法算子的性质与复合算子的性质简单结合,而是有着独具一格的性质.加权复合算子是最近几年来被广泛深入研究的一类具体算子,这类算子不仅与Toeplitz算子的换位[4]及复合算子的共辄[5]有关,而且也反映了算子理论和函数理论的密切关系.文[24]是可以查阅到的早期的研究这类算子的文献,该文通过加权复合算子给出了Hardy上的等距刻画.之后人们开始关注这一算子.对于解析函数空间上的加权复合算子的研究,首要问题是有界性和紧性问题,对于这些问题,在不同的函数空间上都给出了刻画,并且这些空间上加权复合算子的谱也得到了具体的研究(文[6,8–12,12,13,20,25]).在解析函数空间中,经典的Hardy空间与Bergman空间占有着十分重要的地位,不仅是因为这两大空间本身的优美性质,更为重要的是其上的算子也具有非常优美的性质.近年来Fock空间也受到了数学家们的关注.Fock空间是由定义在复平面上的整函数构成的再生核Hilbert空间.Fock空间上Toeplitz算子[1,3,23],Hankel算子[2,3]的研究己经较为深入.但是关于Fock空间上的复合算子得出的结论就很平凡,这是由于复平面上整函数的特殊性,刘维尔定理表明有界整函数只能是常值函数.结果只能是Fock空间上没有有界的乘法算子,其上的复合算子只能是由一元多项式定义的(文[7]).但是相对于其上无界的乘法算子及形式简单的有界复合算子,Fock空间上的有界加权复合算子具有与经典的Hardy空间和Bergman空间上相似的结果.文[7]给出了Fock空间上有界及紧加权复合算子的刻画, 文[19]研究了Fock空间上Hilbert-Schmidt类的加权复合算子.最近文献[8–11]研究了Hardy空间,加权Hardy空间,Dirichlet空间上的加权复合算子,给出了加权复合算子自伴性,正规性,复对称性的相应刻画,这些性质不仅反映了这些算子和由相对应的函数之间的密切关系,而且也揭示了加权复合算子与它们的共辄算子之间的关系.那么是不是在Fock空间上也有类似的结论呢?受这样的启发,本文主要研究Fock空间上的加权复合算子.首先给出了一类具体的加权复合算子有界性及其谱集的刻画.在此基础上,本文的第二章研究1山西师范大学硕士学位论文了Fock空间上的自伴, 正规, 一类复共辄对称的加权复合算子, 给出了这些算子相应的刻画, 而且这些加权复合算子正是第一章所研究的一定条件下的加权复合算子.2第一章Fock空间上一类加权复合算子有界性及谱的刻画1.1Fock空间的基础知识Fock空间设C表示复平面.Fock空间F2由C上的整函数组成,其范数是21f11f=2πC2|f(z)|e?|z|22dm(z),这里dm表示C上的Lebesgue测度.2F在相应内积1f|z|22(f,g)=2πf(z)g(z)e?C2 dm(z),f,g∈F下成为再生核Hilbert空间, 其再生核函数是wˉzKw(z)=e2 ,w,z∈C.令kw是规范化的Kw,则wˉzkw(z)=e2 ?|w|24 .Fock 空间上的加权复合算子设?是整函数,ψ∈F2,F2上的加权符合算子Cψ,?定义如下:Cψ,?f=ψ(f??),f∈F2.当ψ=1时,记Cψ,?=