第三讲立体几何中的角度.doc

第三讲立体几何中的角度 1、异面直线所成的角 (1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角. (2)取值范围：0°＜θ≤90°. (3)求解方法 ①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 例1.如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a，点E、F、G分别是AB、CD、BC的中点. （1）、求证：EG∥平面ACD； (2)、求线段EF的长； （3）、求异面直线BC、AD所成角的大小. a 1.正四面体中，E，F为中点，求异面直线BE，SF所称角度 S E A C F B arcos 异面直线角的求法只需记住平移和向量即可，但是有些小题考查可能不好建系，所以需要大家对平移好好掌握，而平移其实就是构建辅助线，辅助线的构造基本和证明线面平行时的构造相同，即平行四边形构造和中位线构造，相对而言中位线可能够难想一点，中位线构造常常出现在三棱锥中。 如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱. （Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1; （Ⅱ）若二面角C1—BD—C的大小为60o, 求异面直线BC1与AC所成角的大小. 2、直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角 (1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法 ①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. 例2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA、AB、AD两两互相垂直，BC∥AD，且AB=AD=2BC，E，F分别是PB、PD的中点。 （Ⅰ）证明：EF∥平面ABCD； （Ⅱ）若PA=AB，求PC与平面PAD所成的角的正弦值. arcsin 2．如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上． （I）求证：平面平面； （II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小； （III）求与平面所成角的最大值． ． 异面直线与所成角的大小为． 与平面所成角的最大值为． D 1 C1 A1 B1 E D C Q A B 线面角在求解时，我们觉得可能难度略大于异面直线，但是同学们注意其实把方法掌握，一样是很简单的，因为立体几何的特点是规律性非常强！我们看此题，线面角的定义是射影和斜线的成角，所以我们要先找DE直线的射影，不难发现DE的射影即为DQ，所以所求线面角的平面角即为∠EDQ，只需求解直角三角形EDQ即可求出线面角的三角函数值。但是同学们请思考，你知道这个题为什么简单吗？请看下面 4.正方体，求与平面所成角。 D 1 C1 A1 B1 Q D C A B 还是正方体，这个题就不好做，因为我们在想采用定义法的话，你会发现这次射影不好找了，是谁的问题呢？是平面的问题，刚才所求平面是底面，由于有侧棱垂直底面，所以引垂线找射影都是很自然的，但是当平面为斜切面时候，我们觉得就不是那么自然了，由点B想向平面引垂线找射影其实并不简单，当然聪明的同学会知道点B的垂足点其实在三角形的几何中心Q上，没错，如图，但是此时的三角形QB还是需要运算求解，不是很轻松，再想如果图形复杂，斜面不是等边图形求解将会更复杂，甚至垂足点都不好早，所以这个方法就不是最优解了，当然这时我们首先可以选择建议（详解略），我想为大家推荐另外一种解法，是这样的，BQ线段其实既是垂线段，又是三棱锥的高，如果我们能求出这个高，然后比上B，即可求出射影和斜线的正弦，即线面角的正弦，而求高是不一定非要引垂线的，我们都知道可以等体积求高嘛，所以这个方法有时候叫做等体积法，如下： ， 将两个面积算出，以及侧棱带入， 即可算出BQ大小，在算即为线面角正弦。 5.正方体，E，F分别是所在棱中点， （1）求证四点共面 （2）求与所成角 F D 1 C1 A1 B1 线面角 射影 d D C A E B 此题同学们即发现如果由B1点向平面引垂线找射影的话就会较为麻烦？不会麻烦，这个垂线