Chapter7_2_Romberge积分和Gauss积分.ppt

为 的首项系数, 即为 性质4 [a,b]上带权函数 的正交多项式 序列 中任意相邻两个正交多项式 和 的根相间. 若记 , 的根分别为 , 则所谓 与 的根相同,即是指这两个正 交多项式的根有如下的关系. 性质5 (1) 区间[a,b]上带权函数?(x)的正交 多项式序列 与 对应元素之间 只相差一个比例常数. (2)区间[a,b]上带权函数?(x)首项系数为1的 正交多项式序列 唯一. 常见的正交多项式有Legendre(勒让德)多 项式、Hermite多项式、Chebyshev多项式以 及Jacobi多项式, Chebyshev多项式在5.2节已 详细讨论,这里主要介绍Legendre多项式 一、 Legendre多项式 隐式表达式 显式表达式 当n为偶数时, 当n为奇数时. Legendre多项式的主要性质有 (1)n次Legendre多项式 的首项系数 当x=1, 当x=-1. (3)正交性为: 为区间[-1,1]上带权 函数?(x)?1的正交多项式序列,且有 当m?n 当m=n (4) Legendre多项式相邻三项的递推关系 为 二、 Legendre多项式 将隐式表达式 将隐式表达式中n阶导数用乘积导数的 Leibniz公式可得显式表达式 Legendre多项式的主要性质有 (1)n次Legendre多项式 的首项系数 (2)正交性为: 为区间[0,+?)上带权函 数 的正交多项式序列,且有 权函数 的正交多项式序列,且有 (3) Hermite多项式相邻三项的递推关系为 四、 Jacobi多项式 　　Jacobi多项式是在区间[-1,1]上带权函数 的正交多项式,其中?-1,?-1 (3) Legendre多项式相邻三项的递推关系为 三、 Hermite多项式 表达式 Hermite多项式的主要性质有 (1)n次Hermite多项式 的首项系数 (2)正交性为: 为区间 上带 有的书籍文献把Jacobi多项式记为 即n次Jacobi多项式表示为 其中 或 .两种系数 推出两种Jacobi多项式.详细的情形请参阅文 献[27]. 7.5.3 Gauss型求积公式 由7.5.1中的引理1和定义1可知n点的求积 公式(1)若具有最高的代数精确度,或具有2n-1 次的代数精确度成为Gauss型求积公式.到底 求积公式(1)的求积节点 和求积系数 如何选取,才能使之成为Gauss型求积公式? 定理7.5.1 求积公式(1)中的n个求积节点 , 取在区间[a,b]上带权函数?(x)的n次正交 多项式 的n个根成为Gauss型求积公式. 证 设 .[a,b]上带权函数?(x)的 n次正交多项式 的n个根记为 , 记 的首项系数为 .由定义2有 因此,