高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用.ppt

7.1.1 多元函数概念 7.1.2 多元函数的极限 7.1.3 多元函数的连续性 * * 第7章 多元函数微分法 及其应用 主要内容 本章在一元函数微分学的基础上讨论 多元函数（以二元函数为主）的极限、 连续、 偏导数、方向导数、全微分、 极值等概念，以及它们的计算方法. 关键词 偏导数(Partial derivatives) 全微分(Total differential) 7.1 多元函数的极限及连续性 7.2 偏导数 7.3 全微分 7.4 多元复合函数的求导法则 7.5 隐函数的求导公式 7.7 方向导数与梯度 7.6 多元函数微分学的几何应用 7.8 多元函数的极值及其求法 7.9 习题课 7.1 多元函数的极限及连续性 7.1.1 多元函数概念 7.1.2 多元函数的极限 7.1.3 多元函数的连续性 举例 例1 长方形的面积 例2 一定量的理想气体的压强 例3 电阻并联后的总电阻 定义7.1 为定义在D上的二元函数，通常记为 或 其中点集D称为该函数的定义域， 为自变量， 因变量. 类似地可定义三元及三元以上函数． 它是一个无界开区域. 定义域为 它是一个有界闭区域. 例4 求 的定义域. 解 定义域D中的点(x, y)应满足条件 其定义域如图所示 图7.1 取遍 二元函数 的图形 （如下页图） 设函数 的定义域为 对于任意 取定的 对应的函数值为 这样，以 为横坐标、 为纵坐标、 为竖坐标 在空间就确定一点 当 上一切点时，得一个空间点集 这个点集称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 定义 7.2 设二元函数 的定义域为 是其聚点， 如果存在常数A， 对于任意给定 的正数 总存在正数 使得当点 时，都有 成立， 则称A为函数 当 时的 极限，记为 或 也记作 说明： （1）定义中 （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 的方式是任意的，即两点间的 距离趋于零： 例5 求极限 由极限运算法则,有 解 例6 求极限 解 例7 求证 证 当 时， 原结论成立． 确定极限不存在的方法： 令P(x,y)沿y =kx趋向于 若极限 值与k有关，则可断言极限不存在； (1) 找两种不同趋近方式， 存在，但两者不相等， 此时也可断言f(x,y)在 点 的极限不存在. (2) 例8 函数 当P(x, y) 时极限是否存在? 解 当点P沿直线路径y=kx趋近于原点时, 函数的极限为 该结果与k的值有关,故所求的二重极限不存在. 例9 讨论函数 当P(x, y) 时极限是否存在? 解 当点P沿直线路径y=kx趋近于原点时, 函数的极限为 取点P沿抛物线路径x= ky2趋于原点,则有 该结果与k有关, 故所求的二重极限不存在. 定义7.4 设二元函数 的定义域为D， 是其聚点， 且 如果 则称函数 在点 处连续. 如果函数 在 的每一点都连续， 那么就称函数 在D上连续， 或者称 是 上的连续函数. 定义7.5 设函数 的定义域为 是其聚点， 如果函数 在点 不连续， 则称 为函数 的间断点. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所 谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 一般地， 如果f ( P )是初等函数 且 是f (P)的定义域内的点， 则f (P)在点 处连续， 于是 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值. 在有界闭区域D上的多元连续函数必取 得介于最大值和最小值之间的任何值. （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 （3）一致连续性定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必定 在D上一致连续． 练习1 练习2 求极限 练习3 证明 不存在. 练习5 讨论函数 在(0,0)处的连续性． 练习4 求 练习1 解 由积的极限运算法则，得 练习2 求极限 解 其中 *