线性代数 第02章.ppt

（3）若 可逆， 为非零常数，则 也可逆，且 （4）若 ， 为同阶可逆阵，则 也可逆，且 ； 2.4.2 方阵 可逆的充分必要条件及 的求法 定义10 设 阶方阵 由 的行列式 的所有元素的代数余子式 所构成的 阶方阵 称为矩阵的伴随矩阵. 定理1 设 是 阶方阵， 为 的伴随矩阵，则 定理2 阶方阵 可逆 ，且 推论　若 ，则 ． 例1 设 判断 是否可逆，若可逆，求 ． 解　因为 所以 可逆，又因为 有 所以 例2　设 求矩阵 ，使满足 . 解　若 ， 存在，则用 左乘上式， 右乘上式， 　　　　　　　　 有 即　　 ． 由例1知， 可逆，且 又因 ， 也可逆，且 所以 2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 2.5.1 矩阵的初等变换 1．初等行（列）变换 定义11　下列三种变换称为矩阵的初等行变换： （1）对换变换：对换矩阵的某两行 （对换 两行，记为 ）； （2）数乘变换：非零数 乘矩阵某行的所有元素（第 行乘 ，记为 ）； （3）倍加变换：将矩阵的某一行所有元素的 倍加到另一行对应元素上（第 行的 倍加到 行上，记为 ）． 若将上述定义中的“行”换成“列”，即对矩阵的列施行上面三种变换，就称为矩阵的初等列变换，相应的初等列变换分别记 ， ， ． 2．初等变换 矩阵的初等行变换和初等列变换 统称为矩阵的初等变换． 3．等价关系 如果矩阵 经过有限次初等变换 化为矩阵 ，则称 与 等价，记为 ． 矩阵的等价具有以下性质： （1）自反性： ；（2）对称性：若 则 ；（3）传递性：若 ， ，则 4．特殊矩阵 （1）行阶梯形矩阵　如果矩阵中元素全为零的 行在最下面，而非零行中非零元素自上而下逐 行减少并呈阶梯状，称此矩阵为行阶梯形矩阵． （2）行最简形矩阵　若行阶梯形矩阵中的非零 行的第一个非零元素为1，且1所在列的其它元素 全为零，称此行阶梯形矩阵为行最简形矩阵． （3）若 矩阵的左上角为一个 阶单位阵， 其余元素全为零，即 称此矩阵为标准形矩阵，它由 三个数 惟一确定，其中 为标准形矩阵中非零行的行 数． 2.5.2 初等矩阵 定义12　单位矩阵经一次初等变换所得的矩 阵称为初等矩（方）阵． 三种初等行变换对应的三种初等矩阵分别为： （1） 或 ：交换 的 两行（列）所得的矩阵，即 （2） 或 ： 的第 行（列）乘非零 数 所得的矩阵，即 （3） 或 ： 的第 行乘 加到第 行（第 列乘 加到第 列）所得的矩阵， 即 初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍是同种初等矩阵，即 定理3　设 为 矩阵，对 施行一次初等 行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初 等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的 阶初等矩阵． 定理4 若 为 矩阵，则存在 阶初等矩阵 与 阶初等矩阵 ，使 得 推论1 阶可逆阵 必等价于单位矩阵 ． 推论2 若方阵 可逆，则存在有限个初等矩 阵 ，使 ． ． 第2章 矩阵 2.1 高斯消元法和矩阵的概念 2.1.1矩阵的定义 定义1 由 个数 按一定顺序排成 行 列的数表 称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵，记为或