合工大考研数学考研A卷.doc

总 3 页 第 1 页 合肥工业大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：高等代数 （A卷） 适用专业：计算数学，应用数学 （各位考生请注意：答题请写在报考点统一发放的答题纸上，写在试卷上的一律无效） 一、填空题(共40分, 每小题5分) 1. 设阶方阵满足，其中为单位矩阵，则 ； 2. 设3维向量空间有两组基底:和； 又，，，中向量在基 下的坐标是, 则在基下的坐标是 3. 设矩阵，已知矩阵相似于，则秩 ； 4. 已知线性非齐次方程组的三个解向量为，且秩，，， 的通解 5. 设是实函数空间的子空间，则； 6. 在中定义内积，, 则对基正交单位化所得的一组标准正交基为； 总 3 页 第 2 页 7. 矩阵的标准形为； 8．设是3 阶方阵的三个不同特征值，分别是其对应的特征向量，令，则。 二、(15分) 计算行列式。 三、(10分) 证明：如果，，则。 四、(15分) 已知齐次线性方程组 其中，试讨论和满足何种关系时方程组仅有零解；方程组有非零解，并求其全部解(12分) 设是欧氏空间的子空间，且，与分别是与中线性无关的向量组，证明：向量组，线性无关。 总 3 页 第 3 页 六、(18分) 求一个正交变换,将二次型 化为标准形,并判断是否为正定二次型。 七、(18分) 设线性空间 （1）给定上的变换 ，验证是上的线性变换；（2）求的一组基及在该基下的矩阵；（3） 求的全部特征子空间。 八、(12分) 设的子空间 ，，证明：。 九、(10分) 设和为线性空间上的线性变换，且满足 ，证明：的值域和核都是的不变子空间。 合肥工业大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试 试题参考答案和评分标准 （共 3 页） 考试科目:高等代数（A卷） 适用专业：计算数学，应用数学 一、1 ; 2. ； 3. 4; 4. 5．3 ； 6. ，，; 7 ; 8. ； ; 二、解：将按第一行展开， 得 。 三、证： 由假设，存在及使 （1） （2） 将（1） （2）相乘，得 ，所以。 四、方程组的系数行列式 （1） 且时，方程组仅有零解； （2） 或时，方程组有非零解； ①时，，即原方程组的同解方程组为，．不妨设，则，通解为或 ②时，且 ， 即原方程组的同解方程组为，通解为：． ，则由，可知，即有，于是有。 设，那么有，于是有，由及线性无关，得。即向量组线性无关。 六、解，的特征值为，对应的线性无关的特征向量为，先将正交化得，它们与属于不同的特征根，故已正交，再将它们单位化得，令，得 ，既非负定也非正定. 七 、(1)显然 （2） 基 （3） 的特征向量为特征子空间 的特征向量为特征子空间 。 八、证： 设，由两个方程组的共公解知，所以 又因为方程组的解空间维数为n-1,故，而方程组的系数矩阵秩为n-1，所以解空间维数为1，从而，故，又显然，因此，。。 九.证明： 设则有，使，于是，即为的不变子空间。 设有，所以，即为的不变子空间。