MATLAB专题4.doc

一、插值 1. 一维插值 1. Lagrange 插值 容易产生Runge现象，是一种不稳定的插值。不实用。 设n个节点以数组x0,y0输入，m个插值点以数组x输入。输入数组y为m个插值。 注意：程序中用n个节点而不是n＋1个节点。 命名lagr.m。程序为 function y=lagr(x0,y0,x) n=length(x0); m=length(x); for i=1:m z=x(i); %由数组x取出插值点 s=0; for k=1:n p=1; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); %Lagrange插值公式基函数 end end s=p*y0(k)+s;%按Lagrange插值公式计算 end y(i)=s; end 2. 分段线性插值 具有良好的收敛性。可以通过增加插值节点的个数来控制插值误差。是一种较实用的插值方法，Matlab有分段线性插值函数。但总体光滑程度不够。 分段线性插值有现成的函数命令： y=interp1(x0,y0,x) 其中x0,y0,x和输出y的意义同上。 3. 三次样条插值 较低次的多项式可以达到较高阶的光滑度。样条曲线本身来自飞机、船舶等外形曲线设计中所用的绘图工具。在工程实际中，要求这样的曲线具有连续的曲率，即二阶连续导数。 三次样条插值也有现成的函数命令： y3=interp1(x0,y0,x,spline); 或者y4=spline(x0,y0,x); 其中x0,y0,x和输出y的意义同上。 例：对出现龙格现象的例子将[-5,5]区间n（=10）等分，用g(x)产生n+1(=11)个节点，用Matlab作以上三种方法的插值计算、作图，进行比较。 解：编写程序如下： x0=-5:5; y0=1./(1+x0.^2); %产生节点(x0,y0) x=-5:0.1:5; %产生插值点x,间隔0.1 y=1./(1+x.^2); %计算g(x)用于比较，这是 真解 y1=lagr(x0,y0,x); %计算拉格朗日插值 y2=interp1(x0,y0,x); %计算分段线性插值 y3=interp1(x0,y0,x,spline); %计算三次样条插值 z=0*x; %产生横轴 subplot(2,2,1), plot(x,z,r,x,y), title(真解) subplot(2,2,2), plot(x,z,r,x,y1) title(lagrange解) subplot(2,2,3), plot(x,z,r,x,y2) title(分段线性插值解) subplot(2,2,4), plot(x,z,r,x,y3) title(三次样条插值解) 得到结果如下图： 在上面的程序的基础上加上下面的程序，得到部分数值结果比较： 程序： for k=1:11 xx(k)=x(46+5*k); %x=0且间隔0.5的插值点 yy(k)=y(46+5*k); %x=0且间隔0.5的g(x) yy1(k)=y1(46+5*k); %x=0且间隔0.5的lagrange插值 yy2(k)=y2(46+5*k); %x=0且间隔0.5的分段线性插值 yy3(k)=y3(46+5*k); %x=0且间隔0.5的g(x)三次样条插值 end [xx;yy;yy1;yy2;yy3] 结果为： 三种插值结果比较 x y y1 y2 y3 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.8000 0.8434 0.7500 0.8205 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.5000 0.3077 0.2353 0.3500 0.2973 2.0000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 2.5000 0.1379 0.2538 0.1500 0.1401 3.0000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 3.5000 0.0755 -0.2262 0.0794 0.0745 4.0000 0.0588 0.0588 0.0588 0.0588 4.5000 0.0471 1.5787 0.0486 0.0484 5.0