学 等差数列(教案+例题+习题) 3.doc

一、等差数列 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……； （2），，，； （3），，，。 如（1）已知，则在数列的最大项为__ ； （2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___； （3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围； 2、等差数列的判断方法：定义法或。 例2．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 练一练：设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。 3、等差数列的通项：或。 4、等差数列的前和：，。 例3：等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是(　　) A．S7　　　　　　　　　B．S8 C．S13 D．S15 ．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n为(　　) A．48 B．49C．50 D．51 中，，，则通项　　　　； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ； 例5：设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________. 已知数列{an}为等差数列，若－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn0的n的最大值为(　　) A．11 B．19C．20 D．21 中，，，前n项和，则＝＿，＝ ； （2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和. 5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2） 6.等差数列的性质： （1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 （3）当时,则有，特别地，当时，则有. （4）若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 练一练：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。 练一练：项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数. （6）若等差数列、的前和分别为、，且，则. 练一练：设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________； (7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 练一练：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值； 例7．（1）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ） A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 （2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 等差数列课后练习 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。 1．若a≠b,数列a,x1,x 2 ,b和数列a,y1 ,y2 ,b都是等差数列，则 （ ） A． B． C．1 D． 2．在等差数列中，公差＝1，＝8，则＝　 （　 ） A．40 B．45 C．50　　 D．55 3．等差数列的前三项为，则这个数列的通项公式为 （ ） A． B． C． D． 4．在等差数列，则在Sn中最大的负