专题：相似.doc

授课主题 专题：相似 教学目标 1、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件． 2、通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题． 授课日期及时段 教学内容 一、知识点透视 1、图形的相似在考试中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段． (2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方． (3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题． (4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小． 2、考试分析：相似是平面几何中重要的内容，在近几年的一些考试中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后考试的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等． 二、知识网络结构图 三、专题总结及应用 （一）知识性专题 专题1 比例线段 【专题解读】 解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解． 例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO． (1)求证； (2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围． 分析 利用△CDE∽△CAB，可证明． 证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAB，∴. 解：(2)∵AE＝8，OC＝12， ∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8． 又∵， ∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128． 连接OB，在△OBC中，OB＝AE＝4，OC=12， ∴8＜BC＜16． 【解题策略】 将证转化为证明△CDE∽△CAB. 专题2 乘积式或比例式的证明 【专题解读】 证明形如，或=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证，可设法证，，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。 例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC中，过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，FG⊥AD，求证． 分析 欲证，可将其分成三个比例式，，，再将三式相乘即可．不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明就可以了． 证明：延长FG交AB于K，连接DK， ∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC，∴EF＝CF． ∵FG∥BC，∴∠1＝∠2， ∴Rt△FDC≌Rt△EKF， ∴KF＝DC，∠3＝∠4， ∴四边形KFCD是平行四边形，∴∠2＝∠5， ∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°， ∴DK⊥AB， ∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG， ∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴．① ∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴．② 在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD． 又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴．③ 由①×②×③，得． 例3 如图27－98所示，在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：4，求证. 分析 原式等价于＝1，也就是，在CA上取一点D，使CD＝BC，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有△BCE≌△DCE，从而易证AD＝DE＝CE，于是只需证即可． 证明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：4， ∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝4x 作CE平分∠BCA，交AB于E， 在AC边上取一点D，使CD＝CB，连接DE， ∴△DCE≌△BCE， ∴∠CDE＝∠B＝2x，∠DEC＝∠BEC=3x， 又∠CDE＝∠A+∠DEA，∴∠DEA＝x，∴AD＝DE， 又∵DE＝EC，∴AD＝CE． 在△ABC和△ACE中，∠CAB＝∠CAE，∠ACE＝∠B＝2x， ∴△ABC∽△ACE，∴， 即， ∴,∴=1 即. （二）、规律方法专题 专题