专题四 无理数及二次根式.doc

专题四 无理数及二次根式 考点1 无理数（专题一有简单提及过） 无理数是非有理数实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环… 考点2平方根、算术平方根、立方根 （1）平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数，就叫做a的平方根（也叫二次方根），一个正数a的平方根有两个，记作±√a 。 ｛★一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是算术平方根；0的平方根只有一个，是0；复数无平方根｝ （2）算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作√a 。规定0的算术平方根是0，即√0=0 ｛★只有非负数才有算术平方根，而且算术平方根都是非负数；（√a）2=a（a≥0），有时也逆用这一公式｝ （3）开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数且a≥0.平方与开平方互为逆运算 （4）√a2的性质：√a2=︱a︱=①a(a≥0)②-a(a＜0） （5）立方根：如果一个数x的立方等于a，即x3=a，则这个数就叫做a的立方根（也叫三次方根）。a的立方根表示为3√a ｛★由立方根的定义可以得出，每一个数都有立方根，且只有一个。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。3√-a=-3√a，利用这个性质可把负数立方根转化为正数立方根来处理；3√a3=a，（3√a）3=a，从而有3√a3=（3√a）3｝ （6）开平方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。开立方与立方互为逆运算。 考点3 二次根式的运算 （1）二次根式：一般 √a（a≥0）叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则无实数根），被开方数必须大于或等于0。（a≥0，b≥0）（a≥0，b0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。有理化根式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 例如：； 考点4 二次根式的化简（1）直接利用二次根式的运算法则：例： （2）利用平方差公式：例： （3）利用因式分解：例： （此题可运用待定系数法便于分子的分解） 下列各数中，3.14159，，0.131131113…，﹣π，，，无理数的个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 2. 在3.14，，π和这四个实数中，无理数是（　　） A．3.14和 B. π和 C. 和 D. π和 答案：D3. 下列结论，正确的是（　　） A．带根号的数都是无理数 B.若﹣5ax+2b2与aby是同类项，则y=﹣2 C.﹣0.019988用科学记数法表示为﹣1988×102 D.在这三个代数式中，只有﹣0.5xy+y2是整式 答案：B 4. 1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有　　个无理数． 答案：解：∵12=1，22=4，32=9，…，102=100， ∴1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个， ∴无理数有90个； ∵13=1，23=8，33=27，43=64＜100，53=125＞100， ∴1，2，3…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个， ∴无理数有96个； ∴1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90+96=186个． 故答案为：186． 5．的平方根________，的立方根________。 答案： ，0．6 6.的平方根________，的立方根________。 答案：±2，2 7.算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________。 答案：0和1，0和±1 8.若，则________，若，则________。 答案：±16，-4 练习 1.下面说法中，正确的是（　　） 　 A． 无限不循环小数都是无理数 B． 带根号的数都是无理数 　 C． 无理数都是带根号的数 D． 无限小数都是无理数 2.的平方根是（ ） A . B .36 C. ±6 D. 3.下列命题正确的个数有：（3）无限小数都是无理数（4）有限小数都是有理数（5）实数分