二次函数讲义 有例题讲解和作业.docxVIP

一、二次函数的概念1、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2、注意点：（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。（2）当b=c=0时，二次函数是最简单的二次函数。（3）二次函数是常数，自变量的取值为全体实数 （为整式）3、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c（a≠0）， 对称轴：直线x= 顶点坐标：( )（2）顶点式：（a≠0）， 对称轴：直线x= 顶点坐标为（, ）（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）, 对称轴:直线x= (其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).二、二次函数的图象1、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.三、二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()注：常用性质：1、开口方向：当a0时，函数开口方向向上； 当a0时，函数开口方向向下；2、增减性：当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；3、最大或最小值：当a0时，函数有最小值，并且当x= ， y最小 ＝ 当a0时，函数有最大值，并且当x= ， y最大 ＝例题精讲1关于抛物线（a≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）当a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a0时，情况相反.抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.一元二次方程（a≠0）的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标. A.①②③④ B.①②③ C. ①② D.①重庆市2007已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。（1）求点C的坐标；（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为（1）过点C作CH⊥轴，垂足为H ∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2 ∴OB＝4，OA＝ 由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝ ∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3 ∴C点坐标为（，3） （2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点 ∴ 解得： ∴此抛物线的解析式为： （3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝ ∴P（，） 作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E把代入得： ∴ M（，），E（，） 同理：Q（，），D（，1） 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD 即，解得：，（舍） ∴ P点坐标为（，） ∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）徐州市200725.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。解：、（2006山东潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？[解]（1）把代入得，一次函数的解析式为； 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，设二次函数解析式为，把代入得