江苏省如东县马塘中学2016届高三上学期自主练习四数学试题（教师版）.doc

2016届马塘中学高三数学自主练习四 一.填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分；请把答案写在答题卡相应位置.） 1. ?已知集合A＝{1, 2, 3, 4}，那么A的非空真子集的个数是 14 2. 若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为_____．－1 的最小正周期为____ 4．已知向量与的夹角是，且满足，，则＝ ． 5．设＝x2－＋(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为 ． (0，] 6. 已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________－1 的定义域是，则实数的取值范围是____ 0≤m＜4 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60，E为CD的中点，若＝1，则AB的长为________． ，则的极大值为 ． 10. 已知函数在区间上是单调递增，则实数a的取值范围为 11．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f(－4)，f()，f(－)的大小关系为_______ (用“”连接)答案　f()f(－4)f(－) 解析　∵f′(x)＝sin x＋xcos x，当x∈时，sin x0，cos x0， ∴f′(x)＝sin x＋xcos x0， 则函数f(x)在区间上为减函数， ∵4，∴f()f(4)f()， 又函数f(x)为偶函数，∴f()f(－4)f(－) 12.为的外接圆圆心,,为钝角,M是边BC的中点,则 = ． 29 13． 设函数f(x)＝则方程xf(x)－1＝0根的个数为________． 解析：方程xf(x)－1＝0显然x＝0不是方程的解因而原方程等价于y＝f(x)与y＝两个函数图象的交点个数(x)示意图如下图所示． ∵ f(7)＝，从而x7时f(x)＝无交点因而原方程有6个解． 若函数f(x)＝(1－x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称则f(x)的最大值为________． 解析：因为点(1)，(－1)在f(x)的图象上且图象关于直线x＝－2对称所以点 (－5)，(－3)必在f(x)的图象上所以f(－5)＝(1－25)(25－5a＋b)＝0 f(－3)＝(1－9)(9－3a＋b)＝0联立解得a＝8＝15所以f(x)＝(1－x)(x2＋8x＋15)即f(x)＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5)＝－(x＋4x＋3)(x＋4x－5)． 令t＝x＋4x＝(x＋2)－4≥－4则f(x)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t－1)＋16当t＝1时(x)max＝16 二．解答题. （本大题共6小题，共90分；请把答案写在答题卡相应位置.） 15. （本题满分14分） 已知函数。 （1）求的最大值及取得最大值时的的值； （2）求在上的单调增区间。 (1) ， 当，即时， 的最大值为. (2)由，即， 又因为，所以所求的增区间为. 16. （本题满分14分） 已知向量，，且． （1）求及； （2）若的最小值是，求实数的值． 解：(1）． ． （2）． ，． ①当时，在时取得最小值，不合题意． ②当时，最小值为， 令，解得（负值舍去）． ③当时，在时取得最小值为， 令，解得，与条件不合，舍去． 因此，的值为． 17．（本题满分14分） 已知函数． ⑴试判断函数的单调性和奇偶性,并证明； ⑵若函数在上的最大值为，求实数的值； ⑶若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解：⑴函数的定义域为． 设，则 ． ∵，∴，由指数函数的性质得；又，， ∴，即．故函数在上单调递减； ，即． 故函数是奇函数． ⑵由⑴知函数在上单调递减， ∴，即． 解得，∵，∴． ⑶． 由⑴知函数是奇函数，且在上单调递减， ∴，即． 令，则由题意得在上恒小于，也是有 ． 故的取值范围是． 18、（16分） 为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m． （I）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？ （II）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽． 解 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为，由已知点，所以抛物线的方程为I）为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，设点，则APQB的面积， ∴,令，得当时，