湖南省衡阳市八中2015-2016学年高一上学期六科联赛试题（12月） 数学 bytian.doc

衡阳市八中 2015 年高一上学期六科联赛数学试题 命题人：肖中秋 审题人：周彦 一、选择题本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． ，那么( ) A． B． C． D． 2、已知α，β是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线. 下列命题中不正确的是．若 m∥n，m⊥α，则 n⊥αB．若 m⊥α，mìβ，则α⊥βC．若 m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若 m∥α，α∩β= n，则 m∥n3、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的 B． C． D． 4、设长方体的长，宽，高分别为 2a，a，a 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 5、已知，则（ ） A． B． C． D．不确定 6、如果一个函数满足：（1）定义域为R（2）任意，则；（3）任意，若，总有，则可以是( ) A． B． C． D． 7、下列四个数中最大的是 B． C． D． 8、函数的图象的大致形状是( ) 9、已知函数，当时均有，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 10、是函数的一个零点，若，则( ) A． B． C． D． 11、一个三棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：）为( ) A． B． C． D． 12、已知函数，若有两个相异实根，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。. 13、已知函数的图象过定点A，若点A也在幂函数的图象上， 则 14、在四面体PABC中，PA、PB、PC两两垂直，且均相等，E是AB的中点，则异面直线AC与PE所成的 角为 15、已知函数，则 16、德国著名数学家狄拉克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄拉克雷函数，其中R是实数集，Q是有理数集，则关于函数由如下四个命题： ① ②函数是偶函数； ③任取一个不为零的有理数T，则第relying的恒成立； ④存在三个点，使得为对边三角形， 其中正确的命题是 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分10分） 已知函数，（其中） （1）求函数的零点； （2）若函数与函数的零点相同，求函数的值域。 18、（本小题满分12分） 如图，已知斜三棱柱中，为BC的中点 （1）若，求证：； （2）求证：平面。 19、（本小题满分12分） 某投资公司计划投资 A，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比，其关系如图 1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例， 其关系如图 2，（注：利润与投资量单位：万元） （1）分别将 A，B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式； （2）该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品中，问：怎样分配这 10 万元投资， 才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 如图，直三棱柱中，是的中点，N是BC的中点，是等腰三角形，D为的中点，E为BC上的一点 （1）求证：四点共面； （2）求直线BC和平面所成的角的余弦值。 21、（本小题满分12分） 一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意x，则恒成立，已知函数的定义域为R，其图象关于对称。 （1）求常数m的值； （2）解关于x的方程：。 22、（本小题满分12分） 已知函数满足：对于任意实数，都有恒成立，且当时，恒成立， （1）盘点在R上的单调性，并加以证明； （2）若函数（其中）有三个不同的零点，求的取值范围。