山西财大2005级线性代数试题答案及评分标准.doc

2005级线性代数试题答案及评分标准 一、填空题（每小题2分，共20分） －20； 2．； 3．3； 4．21； 5．； 6． 7．3； 8．； 9．3； 10．3. 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．d 2．c 3．d 4．a 5．B 三、计算题（一）（每小题8分，共32分） 1、解：由题意知， ……………………………………(2分) 又 ……………………………………(4分) 所以 ……………………………(8分) 2、解：由 得 ……………………………(1分) 则 ……………………………(3分) ………………(7分) 所以 ………………(8分) 3、解：（1） 因为， 则， ………………(2分) 即 解得 ………………(4分) （2） ………………(6分) 令 得矩阵A的全部特征值为1，1，4 ………………(8分) 4、解 ………………(5分) 令 ………………(7分) 标准形为 ………………(8分) 四、计算题（二）（每小题10分，共30分） 1、解 …………(3分) 所以当时方程组有解。 …………(4分) 令自由未知量得特解为 …………(6分) 令 得导出组的基础解系为 …(9分) 全部解为（为常数） …………(10分) 2、解： ……(6分) 所以极大无关组为。 ………(10分) 3、解：（1）设矩阵A属于特征值0的特征向量为，由于矩阵A属于不同特征值的特征向量正交，所以有，即， ………(2分) 所以A的属于特征值0的特征向量为………(4分) （2）将单位化得， 将正交单位化得， …………(8分) 令Q＝，得 …………(10分) 五、证明题（每小题4分，共8分） 1、证明：因为向量组的极大无关组可以由的极大无关组 线性表示 …………（2分） 所以（） …………（4分） 2、证明：因为， 所以的基础解系有个解向量： …………（2分） 令n阶方阵，则 …………（4分） 1