第三节无穷小和无穷大.ppt

* * 第三节 无穷小量与无穷大量 2.3.1 无穷小量 1.定义1 设 f (x)在某U?(x0)内有定义. 若 则称 f (x)为当 x→x0 时的无穷小量. 例如： (2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量. 如sinx是x?0时的无穷小量，但 注 (1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆; (3)关于有界量. 2.无穷小量的运算性质 时, 有 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 其中? 为 时的无穷小量 . 定理2.3.1. ( 无穷小与函数极限的关系 ) 证: 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 2.3.2、 无穷大 定义2 . 若任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变化过程中的无穷大量.(非正常极限). 注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 定理2.3.2 在自变量的同一变化过程中, 2.3.3 无穷小量阶的比较 都是无穷小, 引例 . 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 若 若 若 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称 ? 是关于 ? 的 k 阶无穷小; 则称 ? 是 ? 的等价无穷小, 记作 定义2.3.3 例如 , 当 ～ 时 ～ ～ 又如 ， 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, ～ 且 例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ ～ ～ 命题2.3.2 证: 即 即 例如, ～ ～ 故 命题2.3.3 设 且 存在 , 则 证: 例如, 无穷小量的等价替换定理 求两个无穷小量比值的极限时，分子及分母都可用等价无穷小 量来代替? 因此，如果用来代替的无穷小量选取得适当，则可使计 算简化? 定理3.12的意义: 2.3.3 ～ ～ ～ ～ ～ 常用等价无穷小 : * *