上海奥数精讲 第14讲讲义 几何图形的面积 等积变形 (教师版).doc

教学过程 如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连接BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有个。 分析：同高等底的三角形面积相等。 解：同高等底的三角形面积相等，△BDE与△ABE同高等底，△CDE又与△BDE同高等底，△ACE与△CDE同高等底。所以与△ABE等积的三角形一共有3个。 教学目标： 使学生能够进行简单的等积变形。 如下图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有对。 解：同底等高的三角形面积相等。所以△ABC＝△BCD，△ABD＝ACD。 另外，△ABO＝CDO。所以面积相等的三角形共有3对。 【巩固拓展】如下图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连接BE、AE、CF、BF。那么与△BCE等积的三角形一共有个。 分析：等积的关键在于等底等高，包括同底、同高。 解：△ACE与△BCE同底等高，等积；只有1个。 公园里有一个长方形花坛，把这个花坛分成了四部分，现已知三部分的面积，你能根据它们的关系求出第四部分的面积吗？ 6平方米 18平方米 12平方米 ？平方米 解析：上面两个相邻的长方形，宽相等，长之比等于面积之比，18÷6=3，右边的长是左边的长的3倍；下面两个相邻的长方形，宽相等，面积之比等于长之比，右边的长是左边的长的3倍，右边面积是左边面积的3倍，12×3=36（平方米） 如下图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的。 解析：对角线将长方形分成面积相等的两个三角形，线段AB又将三角形分成面积比为1:2的两部分。所以阴影部分的面积占长方形面积的×＝。 【巩固拓展】如下图在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD ＝54（平方厘米），求△BEF的面积。 解析：因为SABCD ＝54，S△ABC＝54÷2＝27。△BCE＝ △ABC＝×27＝18。 △BEF＝×△BCE＝×18＝6。 已知如下图，AE＝2BE，CF＝3AF，BG＝4CG，三角形AEF的面积是18平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解析：△AEF＝18，△ABC＝4×3÷2×△AEF＝108。 △BEG＝108÷3÷5×4＝28.8。 △CFG＝108÷5÷4×3＝16.2。 所以阴影部分△EFG的面积是108－18－28.8－16.2＝45。 【拓展练习】如图所示，三角形ABC中，AB＝3AD，BE＝EF＝FC，AG＝2CG，阴影部分面积是40平方厘米，求三角形ABC的面积。 解析：△ADG是△ABC的×＝， △BDE是△ABC的×＝， △CFG是△ABC的×＝。 所以阴影部分占△ABC的面积的1－－－＝。 所以△ABC＝40÷＝90（平方厘米）。 教学目标： 结合容斥原理的重叠和前面的等积变形求面积。 已知如下图，O点是三角形ABC内一点，线段AF、BG和CE交于点O，把三角形ABC分成六个三角形，其中有四个三角形的面积已经在图上标明，求三角形ABC的面积。 解析：（40＋30＋35）×△COF＝（△AOG＋△COF＋84）×35 于是可得到：△AOG＝2△COF－84。 代入（84＋△AOG＋40）×3＝（△COF＋35＋30）×4 于是可得：△COF＝70，△AOG＝56。 所以△ABC＝84＋70＋56＋40＋30＋35＝315。 【拓展练习】已知如图，三角形ABC中，AN和BM交于点O，其中三个三角形的面积如图的标注，求三角形ABC的面积。 解析：连接MN，△MON＝1×＝1.5。 △MNC÷（3＋1.5）＝（△MNC＋1＋1.5）÷（3＋2） 于是计算可得：△MNC＝22.5。 △ABC＝22.5＋1＋2＋3＋1.5＝30。 教学目标：整理全课思路，巩固收获