专题17 空间向量及应用（教师版） 高考数学复习专题,高中数学课件,数学课件,数学,课件.doc

专题17 空间向量及应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．在正方体A1B1C1D1-ABCD中，M、N分别是棱A1A和B1B的中点，若θ为直线CM与D1N所成的角，则sinθ等于 （ ） A． B． C． 　　 D． 2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（ C ） A a B．a C． D．a 3．如图，正四面体S-ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（ C ） A． B． C． D． 4在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是（ C ） A B． C． D． 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，则二面角B-B1C-A的正弦值。 6．在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。 （1）证明：AC⊥SB； （2）求二面角N—CM—B的大小； （3）求点B到平面CMN的距离． 【专家解答】（1）取AC中点O，连结OS、OB． ∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC， ∴SO⊥面ABC， ∴SO⊥BO．如图建立空间直角坐标系O－xyz．则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，)． ∴=（－4，0，0），=（0，2，－2），∵·=（－4，0，0）·（0，2，－2）=0， ∴AC⊥SB． （2）由（1）得=（3，，0），=（－1，0，）． 设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量， ∴n=(，－，1)， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， ∴cos(n，)==．∴二面角N－CM－B的大小为arccos． （3）由得=－1,0)，n=,－1)为平面CMN的一个法向量 ∴点B到平面CMN的距离d==． 【考点透视】 用空间向量可以解决的立体几何问题有1．利用两个向量共线和共面定理,可证明有关线线平行,线面平行,面面平行问题 2．利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线,线面,面面垂直问题 3．利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题 4．利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题 【热点透析】 空间向量解立体几何问题的基本步骤是：1．建立适当的坐标系； 2．确定相关点的坐标； 3．求平面的法向量； 4．利用公式求答案。【范例1】如图, 在直三棱柱中，,点为的中点(Ⅰ)求证; (Ⅱ) 求证：平面; (Ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值 解： ∵直三棱锥底面三边长 ，两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0) (Ⅰ), (Ⅱ)设与的交点为E，则E(0,2,2) (Ⅲ) ∴异面直线与所成角的余弦值为 【点晴】在具有三维直角的立体几何题中常使用空间向量方法，证明线面垂直即证明直线的方向向量与平面的法向量平行，另外注意异面直线所成角为锐角。 【文】如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ) 求证∥平面 (Ⅱ) 求直线与平面PBC所成角的大小； （1） 。 【点晴】注意空间坐标系的选取，证明线面平行即证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，另外注意线面所成的角与直线方向向量和法向量所成角的关系。 【范例2】如图，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E为VC中点，正正四棱锥底面边长为2a，高为h． （Ⅰ）求 （Ⅱ）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED． 解：（I）由题意知Ba，a，0，C―a，a，0，D(―a，―a，0，E 由此得 （II）若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，则，即有=0． 又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有且 即这时有 【点晴】本小题主要考查应用向量知识解决立体几何的能力，注意面面所成角与两法向量所成角的关系。 【文】如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角