二次函数大题及答案.doc

1．（2010广东中山）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．．．． ． 【答案】=， =+ =+ ①当=+时，+=++ 解得 ②当=+时，+=++ 此方程无实数根 ③=+时，=+++ 解得 （不合题意，舍去）， 综上，当或时，ΔPQW为直角三角形； 当0≤x＜或＜x＜4时，ΔPQW不为直角三角形 （3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2； ②当4＜x≤6时，=+=+ = 当x=5时，取得最小值2， ∴当x=5时，线段MN最短，MN=． 2．（2010湖南常德）如图, 已知抛物线与轴交于A (－4，) 和B(1，0)两点与轴交于C点． 求此抛物线的解析式； 设E是线段AB上的动点作EF//AC交BC于F连接CE当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时求E点的坐标; 若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标． 解：（1）由二次函数与轴交于、两点可得： 　　　　　　　　　　解得：　 　　　　　　故所求二次函数的解析式为． （2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴ ∵EF//AC, ∴, ∴△BEF～△BAC, ∴得 故E点的坐标为(,0)　　　（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，－2）．若设直线的解析式为，则有　解得： 故直线的解析式为． 若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（．则有： 　　　　　　　＝ ＝ 即当时，线段取大值，此时点的坐标为（－2，－3） 解法二：延长交轴于点，则．要使线段最长，则只须△的面积取大值时即可. 设点坐标为（，则有: 　　　 　 ＝ 　 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ 即时，△的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（－2，－3）与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C. （1）求点A的坐标； （2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？ （3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. 【答案】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4） （2）当b＝0时，直线为，由解得， 所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2） ， 所以（利用同底等高说明面积相等亦可） 当时，仍有成立. 理由如下 由，解得， 所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b）， 作轴，轴，垂足分别为F、G，则， 而和是同底的两个三角形， 所以. （3）存在这样的b. 因为 所以 所以，即E为BC的中点 所以当OE=CE时，为直角三角形 因为 所以 ，而 所以，解得， 所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形. 4．（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的 坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此 图象有两个公共点时，的取值范围. 【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标， 所以 令解之得. ∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P，使 设则，又, ∴ ∵二次函数的最小值为-4，∴. 当时，. 故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分 （3）如图1，当直线经过A点时，可得……………8分 当直线经过B点时，可得 由图可知符合题意的的取值范围为解得，∴抛物线的解析式是：y= x2+x+2． （3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论． ①若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=． ②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=． ③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE=PC，∴t=（-t），解得t=． （4）当CQ=PC时，由（3）知t=，∴点P的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：y=x，