2014年全国初中数学联赛决赛（初二）试题及其解答（可编辑）.doc

2014年全国初中数学联赛决赛（初二）试题及其解答 2 xx y3 y 1 . 若 , , 且 , 则代 数式 的值为 x0 y0 x xy 3 y x5 y xx yy ( ) A1 B2 C3 D4 【 答 】 B已知等 式可化为 , 即 , 所以 , 于是 x2 x y1 5 y0 x3 y x5 y 0 x2 5 y 2 2 xx y3 y 50 y25 y3 y 58 y 22 29 y xx yy 25 y25 yy 2 . 已知 △ A B C 中 , A BA C2 , 点 D 在 B C 边的延 长线上 , A D4 , 则 B DC D = ( ) A . 16 B . 15 C . 13 D . 12 【 答 】 D作 A HB C 于点 H , 则 H 为 B C 的中点 , 所以 2 2 B DC D B HD H D HC H D HC H D HC H D HC H 2 2 2 2A DA C421 21 1 1 1 2 1 1 3 . 已知 x , y 为整数 , 且满足 ? , 则 xy 的可能 的值有 ( ) 2 2 4 4 x y x y 3 x y A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【 答 】 C2 2 4 4 xy xy 2 xy 由已知 等式得 , 显然 x , y 均不为 0 , 所以 xy = 0 或 3 xy2 xy 2 2 4 4 x y x y 3 x y x? 1 , x? 2 ,? 若 3 xy2 xy , 则 3 x2 3 y2 ? 4又 x , y 为 整 数 , 可 求 得 或 所 以? y2 , y1 xy1 或 xy? 1因此 , xy 的可能 的值有 3 个4 . 用 1g 、 3g 、 6g 、 30g 的砝码各一个 , 在一架没有刻度的天平上称量重物 , 如果天平两端均可放置 砝码 , 那么 , 可 以称出的 不同克数 的重物的 种数为 ( ) A . 21 B . 20 C . 31 D . 30 【 答 】 C. 2014 年全国 初中数学 联合竞赛 初二年级 试题参考 答案 第 1 页 ( 共 4 页 )可以称 出的重物 的克数可 以为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 20 、 21 、 22 、 23 、 24 、 25 、 26 、 27 、 28 、 29 、 30 、 31 、 32 、 33 、 34 、 35 、 36 、 37 、 38 、 39 、 40 , 共 31 种1 5 . 已知实 数 满足 , 则 的值为 ( ) x , y , z x1y2z xyz x y z 2 A . 6 B . 4 C . 3 D . 不确定 【 答 】 A1 2 2 2 由 x1y2z xyz 可 得 x11 y21 z1 0 , 所 以 2 ,x2 , y3 , z1 x y z6 6 . 已知 △ A B C 的三边 长分别为 2 , 3 , 4 , M 为三角 形内一点 , 过点 M 作三边 的平行线 , 交各边 于 D 、 E 、 F 、 G 、 P 、 Q ( 如图 ) , 如果 D EF GP Qx , 则 x = ( ) 1 8 20 2 2 24 A . B . C . D . 13 13 1 3 13 【 答 】 D. A Q 设 ,B Ca , A Cb , A Bc M Em , M Fn , M Pk F E D D E A E P Q C Q M 由 平 行 线 的 性 质 可 得,, 即 B C A C A B A C x b xn x bn 1 1 n C B P G,, 所 以 ( x1, a b c b a b b x n 1 1 1 2 2 2 41, 两式 相加 , 得 ( x? 2 , 所以 x1 1 1 1 1 1 c b a b c 1 3a b c 2 3 4 二 、 填空 题 : ( 本题满 分 28 分 , 每小 题 7 分 ) 1 . 如果关 于 x 的 方程 | x3 || x2 || x1 |a 恰好只 有一个解 , 则实数 a = . 【 答 】? 1 4x , x1 ,? 63 x , 1x2 ,f x | x3 || x2 || x1 |? 2x , 2x3 ,? x4 , x3 ,结合函 数的图象 知 : 当且仅 当 a? 1 时 , 关于 x 的 方程 | x3 || x2 || x1 |a 恰好只 有一个解9 n 8 2 . 使得不 等式 对唯一 的整数 k 成立的 最大正整 数 n 为 .? 1 7 nk 1 5 【 答 】 144. 7 k 8 k1 7 k1 8 2