2014年全国初中数学联赛决赛（初三）试题及答案解析.doc

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知为整数，且满足，则的可能的值有（ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知非负实数满足，则的最大值为 （ A ） A．B．C．D．中，，为的中点，于，交于，已知，，则＝ （ B ） A． B． C． D． 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ） A． B． C． D． 5．设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则 （ D ） A． B． C． D．1 6．在△中，，，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形, ,则的长为 （ A ） A．B．C．D． 满足，，则__0__． 2．使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为 144 ． 3．已知为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△的内心，则． 4．已知正整数满足:，，，则 36 ． 第二试 （A） 一、（本题满分20分）设实数满足，，求的值． 解 由已知条件可得，. 设，，则有，， ……………………5分 联立解得或. ……………………10分 若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根； ……………………15分 若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以 . ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足, 的延长线与△的外接圆交于点. 证明：． 证明 由是平行四边形及已知条件知. ……………………5分 又A、B、F、 D四点共圆，所以，所以△∽△， ……………………15分 所以. ……………………20分 又，所以△∽△，故 . ……………………25分 三．（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？并说明理由. 解 取，，可得，所以1具有性质. 取，，可得，所以5具有性质.…………………5分 为了一般地判断哪些数具有性质，记，则 ＝ . 即 ① ……………………10分 不妨设， 如果，即，则有； 如果，即，则有； 如果，即，则有； 由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质. 因此，1，5和2014都具有性质. ……………………20分 若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质. ……………………25分 第二试 （B） 一．（本题满分20分）同（A）卷第一题. 二．（本题满分25分）如图，已知为△的外心，，为△的外接圆上一点，过点作直线的垂线，垂足为.若，，求. 解 延长交⊙于点，延长交⊙于点，由题意得，所以为的平分线. ……………………5分 又点在⊙的半径上，点、在⊙上，所以点、关于直线对称，. ……………………10分 延长交⊙于点，因为为圆心，，所以点、关于直线对称，.因此.