[九年级数学]2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题4 三角形四边形存在性问题.doc

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题4：三角形四边形存在性问题 24. （2012黑龙江龙东地区10分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（－18，0）。 （1）求点B的坐标； （2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式； （3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的 四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）过点B作BF⊥x轴于F， 在Rt△BCF中 ∵∠BCO=45°，BC=12，∴CF=BF=12 。 ∵C 的坐标为（－18，0），∴AB=OF=6。 ∴点B的坐标为（－6，12）。 （2）过点D作DG⊥y轴于点G， ∵OD=2BD，∴OD=OB。 ∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA 。 ∵，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴D（－4，8），E（0，4）。 设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0） ∴ ，解得。∴直线DE解析式为y=－x+4。 （3）结论：存在。 点Q的坐标为：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）。 【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。 【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。 （2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．构造△ODG∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。 （3）如图所示，符合题意的点Q有4个： 设直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F， 则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4。 ①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边。 则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF－P1E=4－4。 易知△P1NF为等腰直角三角形， ∴P1N=NF=P1F=4－2。 设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1－P1N=4－（4－2）=2。 又ON=OF－NF=2，∴Q1（2 ，－2）。 ②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－2，2）。 ③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。 此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。 ④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。 由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线， 由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。 由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，∴Q4（－2，2）。 综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为： Q1（2，－2），Q2（－2，2），Q3（4，4），Q4（－2，2）。 25. （2012黑龙江绥化10分）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式； （3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°。 ∴。∴G点的坐标为（3，4－）。 （2）设直线EF的解析式是y=kx+b， 在Rt△BFG中，，∴∠BFG=60°。∴∠AFE=∠EFG=60°。 ∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2。∴E点的坐标为（0，4－2）。 又F点的坐标是（2，4）， ∴， 解得。 ∴直线EF的解析式为。 （3）存在。M点的坐标为（），（），（ ）。 【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。 （2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。 （3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状： 若以M、N、F、