[高二数学]数列综合题和应用性问题教案.doc

泰州二中高中数学二轮复习讲义 13. 构建数学模型解数列综合题和应用性问题（教案） 一.重难点归纳 1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题 2 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关 (1)事理关 需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力 (2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系 (3)事理关 在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化 构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力 二．课前预习： 1 在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________ 2 从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升 3 据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》 “2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7 3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元 4 已知数列{an}满足条件 a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…) (1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范围； (2)设r=219 2－1，q=，求数列{}的最大项和最小项的值 1 解析 由1,x1,x2,4依次成等差数列得 2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3 又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4) ∴=(3,4)∴ 答案 1 2 解析 第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－)升， 第二次有纯酒精a(1－)－，即a(1－)2升， 故第n次有纯酒精a(1－)n升 答案 a(1－)n 3 解析 从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7 3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7 3%)4≈120000(亿元) 答案 120000 4 解 (1)由题意得rqn－1+rqn＞rqn+1 由题设r＞0,q＞0,从上式可得 q2－q－1＜0，解得＜q＜,因q＞0,故0＜q＜; ,从上式可知，当n－20 2＞0，即n≥21(n∈N*)时，Cn随n的增大而减小， 故1＜Cn≤C21=1+=2 25 ① 当n－20 2＜0，即n≤20(n∈N*)时，Cn也随n的增大而减小， 故1＞Cn≥C20=1+=－4 ② 综合①②两式知，对任意的自然数n有C20≤Cn≤C21, 故{Cn}的最大项C21=2 25，最小项C20=－4 三.典型题例 例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 命题意图 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型 知识依托 本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点 错解分析 (1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差 技巧与方法 正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧 解 (1)第1年投入为800万元， 第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元， 所以，n年内的总投入