数学论文柯西—施瓦兹不等式探讨.doc

柯西——施瓦兹不等式探讨 作者: 张道皇 指导老师: 唐燕玉 摘要：柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，应用方面给出几个例子。近年来，许多学者在不同条件下提出柯西—施瓦兹不等式多种表现形式，并且对其性质及应用做了广泛而深入的研究，本文在已有的文献基础上，总结出了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式及其在数学中的应用。本文的结论是对柯西—施瓦兹不等式理论的进一步深化，也是对现有文献中相应结论进行改善。 关键词：柯西—施瓦兹不等式 证明 应用 引言：柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，在证明不等式、解三角形相关问题 、数学分析中都有重要应用，本文在已有的文献基础上，总结了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式，并且给出其一些应用性的例子。 柯西（Cauchy）不等式在代数学中的表现形式 等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下： 证明1：（判别式法） ， 关于小的二次三项式保持非负，故判别式 ，当且仅当 即时等号成立 证明2数学归纳法 （1）当时 左式= 右式= 显然 左式=右式 当 时， 右式 右式 仅当即 即时等号成立 故时 不等式成立 （2）假设时，不等式成立 即 当 ，k为常数， 或时等号成立 设 则 当 ，k为常数， 或时等号成立 即 时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立； 证明3（配方法）因 故柯西不等式获证。等号当且仅当成立。 柯西不等式在几何中表现形式 柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要。数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释。 （1）二维形式 如图， 可知线段，及的长度分别由下面的式子给出： 表示与的夹角。由余弦定理，我们有 将，，的值代入，化简得到 而，故有 于是　　 这就是柯西不等式的二维形式。 我们可以看到当且仅当，即当且仅当是零或平角，亦即当且仅当在同一条直线上是时等号成立。在这种情形，斜率之间必定存在一个等式；换句话说，除非，我们们总有. （2）三维形式　　　 对于三维情形，设是不同于原点的两个点，则与之间的夹角的余弦有 　　　　 又由，得到柯西不等式的三维形式： 　　　　 当且仅当三点共线时，等号成立；此时只要这里的都不是零，就有 柯西不等式的推广 前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的，在复数范围内同样也有柯西不等式成立。 定理：若和是两个复数序列，则有 　　　　　　， 当且仅当数列和成比例时等式成立。 证明：设是复数，有恒等式 若（其中），则有 由此推出了复数形式的柯西不等式。 除此之外，我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。 定理1：若和是实数列，且，则 当时，这个不等式即为柯西不等式。 　　定理2：若和是正数序列，且或，则 　　这个不等式实际上是Holder不等式的推论。 对于柯西不等式，除了这种数列形式之外，还存在积分形式的柯西不等式即施瓦兹不等式。 柯西不等式在分析中的表现形式即施瓦兹不等式 定理：设和是在上的实可积函数，则 　　　　　　 当且仅当和是线性相关函数时等式成立。 证明1：对任意实数,　有　 即　 即 证明2：将n等分，令，应用柯西不等式， 令取极限，即证得。 证明3： 这就证明了施瓦兹不等式。由此可看出，如果连续，等号当且仅当存在（不全为零）使得时成立。 柯西不等式形式在概率中表现形式 定理：对任意随机变量和都有　.等式成立当且仅当.这里是一个常数。 证明：对任意实数，定义； 显然对一切，，因此二次方程或者没有实数根或者有一个重根，所以，. 此外，方程有一个重根存在的充要条件是.这时.因此，. 有了这个结论，对于解决一些复杂的概率题时会有所帮助。 证明不等式 例1已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得： 故 解三角形的相关问题 例2 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明 证明：由柯西不等式得， 记为的面积，则 故不等式成立。 3）用柯西不等式解释样本线性相关系数 在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 现记，，则， ，由柯西不等式有， 当时， 此时，，为常数。点 均在直线 上， 当时， 即 而 为常数。 此时，此时，，为常数