15 函数的单调性与曲线的凹凸性.pptVIP

上页 下页 铃 结束 返回 首页 主要内容： 第十节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法; 二、曲线的凹凸性与拐点. f ?(x)0 f ?(x)0 观察结果 函数单调增加时导数大于零? 函数单调减少时导数小于零? 观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系？ 一、函数单调性的判定法 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调减少? 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调减少? 由拉格朗日中值公式? 有 f(x2)?f(x1)=f ?(x)(x2?x1) (x1xx2)? 因为f ?(x)0? x2?x10? 所以 f(x2)?f(x1)?f ?(x)(x2?x1)0? 即 f(x1)f(x2) ? 这就证明了函数f(x)在[a? b]上单调增加? 证明 只证(1)? 在[a? b]上任取两点x1? x2(x1x2)? 因为在(??? 0)内y?0? 所以函数 y?ex?x?1在(??? 0]上单调减少? 因为在(0? ??)内y?0? 所以函数 y?ex?x?1在[0? ??)上单调增加? 解 函数y?ex?x?1的定义域为(??? ?)? y??ex?1? 例1 讨论函数 y?ex ?x?1的单调性? 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调减少? 解 函数的定义域为(??? ??)? 所以函数在[0? ??)上单调增加? 因为x0时? y?0? 所以函数在(??? 0] 上单调减少? 因为x0时? y?0? 例2 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调减少? f (x) f ?(x) x 例3 确定函数f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间? 解 这个函数的定义域为(??? ??)? f ?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)? 导数为零的点为x1?1、x2?2? 列表分析? 函数f(x)在区间(??? 1]和[2? ??)上单调增加? 在区间[1? 2]上单调减少? (??? 1) (1? 2) (2? ??) ↗ ↘ ↗ ＋ － ＋ y?2x3?9x2?12x?3 y y? x 解 这个函数的定义域为(??? ??)? 函数f(x)在区间(??? 0]和[1? ??)上单调减少? 在区间[0? 1]上单调增加? (??? 0) (0? 1) (1? ??) ↗ ↘ 例4 确定函数 的单调区间? 驻点 x=1, 不可导点 x=0 , ↘ － － ＋ 说明： 一般地? 如果 f ?(x)在某区间内的有限个点处为零? 在其余各点处均为正(或负)时? 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的? 例5 讨论函数y?x3的单调性? 解 函数的定义域为(??? ??)?