4.偏序集合中的几个特殊元素定义设（A,≤）是一个偏序集.pptVIP

4.偏序集合中的几个特殊元素 定义：设(A,≤)是一个偏序集合, B?A,若存在一个元素b?B,对所有b‘?B都有b’≤b, 则称b是B的最大元；若都有b≤b‘, 则称b是B的最小元。特别B=A时，称b为A的最大元或最小元。 例：A1={1,2,3,4,5,6},(A1,?) 1为A1的最小元，6为A1的最大元 (A1,|) A1的最小元为1，A1的最大元无。 A2={2,3,6,12,24,36},(A2,|) A2既无最小元，也无最大元。 偏序集或它的子集不一定存在最小元(最大元) 偏序集存在最小元(最大元)，它的子集也不一定存在最小元(最大元) 定理：在(A,≤)中，B?A，若B存在最大元(最小元)，则必唯一。 证明：假设B有两个最大元a1,a2, 定义：设(A,≤)是一个偏序集合, B?A,若存在一个元素b?B, 且在B中不存在元素b‘使b?b’,b≤b‘,则称b是B的极大元；若B中不存在元素b’使b?b‘, b’≤b,则称b是B的极小元。特别B=A时，称b为A的极大元(极小元) 注意极大元与最大元的区别。 例：A1={1,2,3,4,5,6},(A1, ≤) 1为A1的极小元，6为A1的极大元 (A1,|) 这些说明： 极大元(极小元)不唯一 最大元(最小元)必是极大元(极小元) 对任何非空有限子集，极大元、极小元一定存在 若子集B有最大元(最小元)，则B的极大元(极小元)唯一 定义：设(A,≤)是一个偏序集合, B?A,若存在一个元素a?A, 对所有b?B都有b≤a, 则称a是B的上界；对所有b?B都有 a≤b, 则称a是B的下界。 注意最大元(最小元)与上界(下界)的区别 最大元(最小元)要求最大元(最小元)?B,而上界(下界)无此要求 例:A2={2,3,6,12,24,36},(A2,|) P={2,3,6}, B={2,3}, 上界(下界)可能存在，也可能不存在。 上界(下界)不一定唯一。 上界(下界)可以是B中的元素，也可以不是 定义：设(A,≤)是一个偏序集合, B?A，若a?A是B的上界且对B中每个上界a都有a≤a, 则称a为B的上确界(或称最小上界)；若a?A是B的下界且对B中每个下界a都有a≤a,则称a为B的下确界(或称最大下界)。 例:A2={2,3,6,12,24,36},(A2,|) P={2,3,6},P的上界{6,12,24,36}， B={2.3}, 例:A3={6,9,36,54},(A3,|) B={6,9}, 上确界(下确界)唯一 上确界(下确界)可以是B中的元素，也可以不是 存在上界(下界)，上确界(下确界)不一定存在。 R?A×B,R为A到B的二元关系，DomR?A。 若DomR=A,且规定对每个a?A,有唯一的b与之对应，即不允许出现(a,c),(a,b)?R出现。 满足这两条的称为函数。 第三章 函数 3.1 函数的基本概念 一、函数的定义及其表示 定义3.1：设A和B是两个任意集合, f是从A到B的二元关系。若f具有性质: (1)f的定义域Domf=A； (2)如果(a,b),(a,b)?f, 则b=b。 则称关系f是从A到B的函数,记为f:A→B,称b为a的象,a为b的原象,记为b= f(a)。f的值域记为Rf。又称f为从A到B的映射。 (1)由DomR?A变为DomR=A,即定义域有区别。 (2)对于关系允许(a,b),(a,b)?R,而函数则是不允许的除非b=b。 例：设A={1,2,3,4},B={a,b,c},从A到B的关系: R1={(1,a),(2,b),(3,c)}, R2={(1,a),(1,b),(2,b),(3,c),(4,c)}, R3={(1,a),(2,b),(3,b),(4,a)} DR1={1,2,3}?A,不是函数。 DR2={1,2,3,4}=A,但(1,a),(1,b)?R2,故不是函数。 R3是函数 定义：设函数f:A→B, 若存在b?B，使得对所有a?A,有f(a)=b,则称f为常值函数。 定义 3.6：设函数f:A→A, 若对所有a?A,有f(a)=a,则称f为A上的恒等函数,记为IA。 下面讨论函数象集的运算。 二、函数的象 定义3.2：设函数f:A→B,X?A,Y?B,定义:f(X)={f(a)|a?X}，称f(X)是在f 下X的象。f -1(Y)={a?A|f(a)?Y},称f -1(Y)是在f下Y的原象。 定理(一)：设函数f:A→B, (1)设X?A,则X??,当且仅当f(X)?? (2)对每个a?A, f({a})={ f(a)} 对于a.f(a),a的象f(a). {a}的象{ f(a)} 定理(二)：设函数f:A→B, A1,A2为A的子集， (1)若A1?A2,则f(A1)? f(A2) (2) f(