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上海交通大学《矩阵论》 B卷 姓名： 班级： 学号： 单项选择题(每题3分，共15分)（答案AAAAB） 设收敛，则A可以取为 A. B. C. D. 注：A的特征值为0，-1，而的收敛区间为 设M是n阶实数矩阵，若M的n个盖尔圆彼此分离，则M 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散 注：由定理M有n个不同特征值，故可以对角化 设的，则M不存在 A. QR分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解 注：M的秩为2故无QR分解 设，则A= A. B. C. D. 注：，故 设3阶矩阵A满足多项式, 且其最小多项式m(x)满足条件,则A可以相似于 A. B. C. D. 注：B中矩阵的最小多项式为 二、填空题(每题3分，共15分) 1． 设 ，则＝ [ E+ ]。 2．已知,并且,则矩阵幂级数=［ ］。 3．设矩阵，则A的谱半径＝［ ］。 4. 设，则n 5． 设5阶复数矩阵A的特征多项式为,则 [ 20 ]. 注：把E写成1或I均可；也可有其它等价形式如等 三、（8分）利用初等变换求，其中 ，。 答案： =（各数值均可取近似值如算成） 解法一、解答中只要是使用列初等变换的思想即得4分，初等变换的用法正确但答案较离谱给6分，有清淅的步骤但结果错误较大给7分，明显简单数值计算错误或答案完全正确给8分； 解法二、使用行初等变换求出再计算，答案无明显错误给满分，否则只给2分。 （10分）设V是由函数的线性组合生成的线性空间，定义V的一个线性算子如. 求T的Jordan标准形及Jordan基。 证明：1。由定义 =， （2分） 2．计算出A的特征值为1，3； （2分） 3．用最小多项式或初等因子或零度判断Jordan块形状（2分） 给出A的Jordan标准形 ； （2分） 5．写出过渡矩阵与基变换正确公式； （1分） 6．给出Jordan基。 （1分） 注：Jordan基不唯一如，；等均算正确（不严格要求基变换为正交变换） （10分)设 ， 求A的四个相关子空间：. 解法一、 1．求出Hermite标准形； （2分） 2．求出每个子空间给（2分）共8分； 解法二、 直接由定义求子空间给分方式：算出任意一个给4分，其余每算出一个给2分。 注：计算过程中的错误如不影响子空间的维数最多可扣1分；如计算错误影响到空间维数但步骤正确扣两分。 8分）求矩阵的孤立盖尔圆盘（即对矩阵作适当的相似变换后求得的盖尔圆盘是孤立的）。 解法一、 只要有分离盖尔圆的想法即可得； （2分） 选择正确的相似过渡矩阵； （2分） 算出三个分离的盖尔圆。 （4分） 解法二、 直接计算A的列盖尔圆并指出他们是分离的给满分（8分）。 注：仅求出A的行或列盖尔圆但没进一步处理给（2分） （8分）已知正交矩阵表示一个旋转，求其旋转轴与旋转角。 1．指出特征值1， （2分） 2．求出1对应的特征向量（1，1，0）并指出其为旋转轴， （2分） 3．指出旋转角度和另两个共轭特征值关系， 或指出旋转角与矩阵迹的关系； （2分） 4．求出旋转角， （2分） 注：思想正确但没算1的特征向量或算错特征向量至多扣一分；旋转角的各种表示均可（如）；全题中的计算错误总共至多扣一分。 （8分）设求证：. 证法一、 1．算出特征多项式， （2分） 2．指出， （2分） 3．使用定理“两个矩阵函数相等当且仅当函数在A的谱上数值相等”正确证明结论， （4分） 注：第3步中没有验证函数在处的导数值扣两分。 解法二、 1．算出特征多项式， （2分） 2．指出， （2分） 3．使用归纳法或直接从多项式分解出因子从而证明结论。