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专题复习：命题及其关系、充分条件与必要条件 【复习目标】： 1、理解命题的概念． 2、了解“若，则”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 【复习重难点】： 1、重点：初步掌握四种命题的关系，并能判断四种命题的真假；初步掌握利用反证法证明一些问题；正确理解三个概念，并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题是命题的什么条件. 2、难点：利用反证法证题；充要条件的证明. 【复习过程】： 问题一、下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？ ①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；[来源:Z。xx。k.Com]为有理数，则也都是有理数”； ⑥ “作∽”. 解：根据命题的概念，判断是否为命题，若是，再判断真假. ①通过反问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题. ②疑问句，没有垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断, 不是命题； ③是假命题, 数既不是正数也不是负数. ④感叹句, 不是命题. ⑤是假命题, 如. ⑥祈使句, 不是命题. ∴命题有: ①③⑤；真命题有: ① 点评: 判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假. 一般地, 陈述句、反问句都是命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题. 问题二、你能将把下列命题写成“若若”的形式，并判断其真假吗? （1）实数的平方是非负数. （2）等底等高的两个三角形是全等三角形. （3）能被整除的数既能被整除也能被整除. （4）弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的弧. 解：(1) 若一个实数, 则它的平方是非负数. 这个命题是真命题. (2) 若两个三角形等底等高, 则这个三角形是全等三角形. 这个命题是假命题.[来源:学_科_网]整除的数, 则它既能被整除也能被整除. (4) 若一条直线是弦的垂直平分线，则它经过圆心并平分弦所对的弧. 点拨:将命题写成“若若”形式时, 一定要注意找出命题的条件和结论, 同时要注出意叙述条件和结论完整性. 问题三、 1、命题“若，则 ()”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________个． 解析若，则∴原命题为假．若，则且，则.∴逆命题为真．又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真．又∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题为假． 2、你能判断下列命题的真假吗? ①已知若或，则. ②若，则方程无实数根. 解：①因为“已知若”的逆否命题是： “已知若”我们不难举反例说明其逆否命题不正确，从而原命题是假命题. ① 因为“若无实数根”的逆否命题是： “若方程有实数根，”,当方程有实数根时，成立. 故其逆否命题正确，从而原命题是真命题． 点评： 1、四种命题及其关系：用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示与的否定，则四种命题间的关系： 2、在判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假时，可以借助原命题与逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假. 3、利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题）——充分利用等价转化的思想方法. 变式训练： 1、下列四个命题中，真命题的个数为（ ）A ①若两平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若，则； ④空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内.。 www.k@s@5@ A. B. C. D. 解析：①是假命题，两平面也可能相交；②是假命题，若两直线是异面直线，不可能确定一个平面；④是假命题，两相交直线确定一个平面，第三条直线过该交点，可与该平面相交. 2、以下命题：① 二直线平行的充要条件是它们的斜率相等； ② 过圆上的点与圆相切的直线方程是③ 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆； ④ 抛物线上任意一点到焦点的距离都等于点到其准线的距离 其中正确命题的标号是②④ 3、设为复数集的非空子集,若对任意，都有，则称为封闭集。下列命题： ①集合为封闭集； ②若为封闭集，则一定有； ③封闭集一定是无限集； ④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 解析：直接验证可知①正确；当为封闭集时，因为，取，得，②正确； 对于集合，显然满足素有条件，但是有限集,③错误；取，，满足,但由于，故不是封闭集，④错误. 问题四、写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题. ①若，则全为. ②若是偶数，则都是偶数. ③若，则 解析: 因为原命题是“若若”的形式, 根据其他三种命题的构造方法, 分别写出逆命题、否命